[논문 리뷰] On the volume functional of compact manifolds with boundary with harmonic Weyl tensor

H. Baltazar, R. Batista외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 17.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 경계가 있는 컴acts한 리만다이안 다양체에서 볼륨 함수의 임계 척도를 분류하고, 조화 Weyl 텐서를 가진 경우에 대해, 단순연결된 다양체에서 경계가 표준 구면과 등장하는 경우 이러한 척도는 단순연결된 공간 형태 안의 지오데식 볼과 등장함을 증명한다. 주요 기여는 Miao-Tam 임계 척도에 대해 Bach-평탄함과 조화 Weyl 텐서가 동치임을 증명함으로써, 이전의 국소적으로 등각 평탄한 경우에 대한 결과를 일반화하는 것이다.

ABSTRACT

One of the main aims of this article is to give the complete classification of critical metrics of the volume functional on a compact manifold $M$ with boundary $\partial M$ and with harmonic Weyl tensor, which improves the corresponding classification for complete locally conformally flat case, due to Miao and Tam [18]. In particular, we prove that a critical metric with harmonic Weyl tensor on a simply connected compact manifold with boundary isometric to a standard sphere $\mathbb{S}^{n-1}$ must be isometric to a geodesic ball in a simply connected space form $\Bbb{R}^n,$ $\Bbb{H}^n$ and $\Bbb{S}^n.$ In order to achieve our goal, firstly we shall conclude the classification of such critical metrics under the Bach-flat assumption and then we will prove that both geometric conditions are indeed equivalent.

연구 동기 및 목표

• 경계가 있는 컴팩트 다양체에서 볼륨 함수의 임계 척도를 조화 Weyl 텐서 조건 하에 분류하는 것.
• Miao와 Tam이 이전에 국소적으로 등각 평탄한 경우에 얻은 분류 결과를 더 넓은 조화 Weyl 텐서 설정으로 확장하는 것.
• Miao-Tam 임계 척도에 대해 Bach-평탄함과 조화 Weyl 텐서가 동치임을 증명하는 것.
• 경계가 표준 구면과 등장하는 단순연결된 컴팩트 Miao-Tam 임계 척도는 단순연결된 공간 형태 안의 지오데식 볼과 등장함을 보이는 것.
• 조화 Weyl 텐서 조건 하에서 이러한 임계 척도의 완전한 분류를 수립하는 것.

제안 방법

• 저자들은 기하 분석과 발산 항등식을 사용하여 Bach-평탄 조건 하에서 Miao-Tam 임계 척도를 먼저 분류한다.
• Weyl 텐서와 정의 함수 f의 기울기로 구성된 텐서 장의 발산을 분석함으로써, 조화 Weyl 텐서를 가진 Miao-Tam 임계 척도는 반드시 Bach-평탄이어야 한다는 것을 증명한다.
• 증명은 경계 근처에서 f가 0이 되는 근방 Vε를 구성하고, 이 영역에서 Weyl 텐서와 리치 곡률의 수축이 0이 됨을 보이는 데 기반한다.
• 스토크스 정리와 발산 항등식을 이용하여, Vε에서 Weyl 텐서 성분 Wν의 노름이 0임을 도출하고, 실해석성에 의해 다양체 전역에서 0임을 보인다.
• Tijk와 Weyl 텐서를 포함하는 텐서 항등식을 적용하여 T 텐서가 0이 됨을 결론내고, 이는 다양체가 Bach-평탄임을 의미한다.
• 상수 스칼라 곡률 하에서 Weyl 텐서의 구조와 코튼 텐서의 영함으로 인해, 조화 Weyl 텐서와 Bach-평탄함 사이의 동치성이 확립된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계가 있는 컴팩트 다양체에서 Miao-Tam 임계 척도가 공간 형태 안의 지오데식 볼과 등장하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Miao-Tam 임계 척도에 대해 조화 Weyl 텐서 조건이 Bach-평탄성과 동치인가?
• RQ3 국소적으로 등각 평탄한 경우의 임계 척도 분류 결과를 조화 Weyl 텐서 설정으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 조화 Weyl 텐서 조건 하에서 경계가 S^{n-1}과 등장하는 단순연결된 컴팩트 Miao-Tam 임계 척도는 어떤 기하적 구조를 갖는가?
• RQ5 경계 근처에서 Weyl 텐서 성분 Wν가 0이면, 이는 Weyl 텐서 전체가 전역적으로 0이 되는가?

주요 결과

• 경계가 S^{n-1}과 등장하는 단순연결된 컴팩트 다양체에서 조화 Weyl 텐서를 가진 Miao-Tam 임계 척도는 단순연결된 공간 형태 R^n, H^n, 또는 S^n 안의 지오데식 볼과 등장한다.
• 조화 Weyl 텐서 조건은 다양체가 Bach-평탄임을 의미하며, 그 반대도 성립하므로 Miao-Tam 임계 척도에 대해 조화 Weyl 텐서와 Bach-평탄함이 동치임이 입증된다.
• Weyl 텐서 성분 Wν는 경계 근처에서 식별적으로 0이며, 실해석성에 의해 다양체 전역에서 0이다.
• |Wν|²와 ∇f를 포함하는 발산 항등식은 |Wν|² ≡ 0이 다양체 전역에서 성립함을 의미하며, 이는 Weyl 텐서가 ∇f 방향으로 0임을 시사한다.
• 텐서 Tijk가 식별적으로 0이 되며, 이는 다양체가 Bach-평탄임을 의미하여 동치성 증명이 완료된다.
• 이전의 국소적으로 등각 평탄한 경우의 분류 결과가 조화 Weyl 텐서 조건 하에서 확장되어, 조화 Weyl 텐서 조건 하에서 완전한 분류가 이루어진다.