[논문 리뷰] On the volume of the intersection of two $L_p^n$ balls

Gideon Schechtman, Joel Zinn|ArXiv.org|1989. 11. 09.

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한 줄 요약

이 논문은 고차원에서 $L_p^n$ 및 $L_q^n$ 구의 교차 부피에 대한 날카운 수렴 지수 경계를 수립한다. 특정 범위 내에서 $t$-배율의 $L_q^n$ 구 외부의 정규화된 부피는 $\exp(-c t^p n^{p/q})$로 감소함을 보여주며, 이는 $t$에 대한 경계이다. 분석은 $L_p$-분포를 가진 새로운 유형의 랜덤 변수와 표면 측도 기법을 사용하여 $\ell_p^n$-노름의 정밀한 尾 확률 추정치를 도출한다.

ABSTRACT

This note deals with the following problem, the case $p=1$, $q=2$ of which was introduced to us by Vitali Milman: What is the volume left in the $L_p^n$ ball after removing a t-multiple of the $L_q^n$ ball? Recall that the $L_r^n$ ball is the set $\{(t_1,t_2,\dots,t_n);\ t_i\in{\bf R},\ n^{-1}\sum_{i=1}^n|t_i|^r\le 1\}$ and note that for $0

연구 동기 및 목표

• 1 \leq p < q < \infty 인 경우, $t$-스케일된 $L_q^n$ 구에 포함되지 않은 $L_p^n$ 구의 渐近 부피를 결정하는 것.
• 정규화된 표면 측도 하에서 $\ell_p^n$-노름에 대한 정밀한 尾 추정치를 도출하는 것.
• 정규화된 $L_q^n$ 구 외부의 부피 감소 속도에 대한 보편적 상수를 확립하는 것. 이 상수는 $n$에 독립적이다.
• 반경 성분에 대한 적분을 통해 $L_p^n$ 구의 정규화된 르베그 측도로 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 밀도 $c_p e^{-t^p}$를 가진 i.i.d. 랜덤 변수의 클래스를 도입하며, 이들의 정규화된 $\ell_p^n$-노름 벡터는 $L_p^n$ 구의 양의 제1사분면에 균일하게 분포함을 보여준다.
• 정규화된 벡터가 반경 성분 $S = (\sum x_i^p)^{1/p}$ 와 독립임을 이용하여 각도적 및 반경적 행동을 분리한다.
• 감마 함수 성질과 지수 모멘트를 이용해 $x_i^p$의 모멘트 및 尾 경계를 적용하며, 특히 $\mathbb{E}[e^{-h x^p}] = (1+h)^{-1/p}$ 를 사용한다.
• 색인의 이진 분해를 통한 사슬 논법을 적용하여 정규화된 벡터의 $\ell_q^n$-노름을 제어한다. 이때 $\max x_i$ 및 $\mathbb{E}[\sum x_i^q]^{1/q}$ 의 경계를 사용한다.
• 지수 모멘트 부등식 및 농도 추정치를 이용해 표면 측도 하에서 $\|u\|_{L_q^n}$ 의 상하한 尾 경계를 유도한다.
• 공식 $\nu(A) = n \int_0^1 r^{n-1} \mu(A/r) \, dr$ 를 통해 표면 측도에서 부피 측도로 결과를 이 trasfer 한다. 여기서 $\nu$ 는 $L_p^n$ 구에 대한 정규화된 르베그 측도이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $1 \leq p < q < \infty$ 인 경우, $t$-스케일된 $L_q^n$ 구 외부에 위치한 $L_p^n$ 구의 渐近 부피는 무엇인가?
• RQ2 정규화된 표면 측도 하에서 $L_p^n$ 구의 $\ell_q^n$-노름의 尾 확률은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 정규화된 $L_q^n$ 구 외부의 부피 감소 속도는 $n$에 독립적인 상수로 정량화될 수 있는가?
• RQ4 감소 속도는 $t$, $p$, $q$, $n$ 에 대해 어떻게 의존하는가?
• RQ5 표면 측도에 대한 결과는 $L_p^n$ 구 전체에 대한 부피 측도로 어떻게 확장되는가?

주요 결과

• $t > T(p,q)$ 인 경우, $\|u\|_{L_q^n} > t$ 인 집합의 정규화된 표면 측도는 $\exp(-c t^p n^{p/q})$ 이하로 경계되며, $c$ 는 $p$와 $q$ 에만 의존한다.
• $2 \leq t \leq \frac{1}{2} n^{1/p - 1/q}$ 인 경우, 정규화된 표면 측도는 $\mu(\|u\|_{L_q^n} > t) \geq \exp(-C t^p n^{p/q})$ 를 만족하며, $C$ 는 $p$와 $q$ 에만 의존한다.
• 상한 및 하한 경계에서 상수 $c$ 와 $C$ 는 $q > 2p$ 인 경우 각각 $\gamma / p$ 와 $\Gamma / p$ 로 취할 수 있으며, 이때 $\gamma, \Gamma$ 는 보편 상수이다.
• $q = \infty$ 인 경우, 尾 경계는 $\mu(\|u\|_\infty > t) \leq \exp(-\gamma t^p / p)$ 와 $\geq \exp(-\Gamma t^p / p)$ 로 변형되며, $t > \tau (\log n)^{1/p}$ 인 경우에 성립한다.
• 정규화된 $L_p^n$ 구의 부피 중 $t$-스케일된 $L_q^n$ 구 외부에 있는 부분은 $t > T(p,q)$ 인 경우 $\exp(-c t^p n^{p/q})$ 로 감소하며, $T(p,q) = \tau \min\{q, \log n\}^{1/p}$ 이다.
• 결과는 $p > 0$ 으로 확장 가능하나, 이 경우 상수의 $p$ 및 $q$ 에 대한 의존성은 완전히 정량화되지 않았다.