[논문 리뷰] On the wave functions and energy spectrum for a spin 1 particle in external Coulomb field

V. V. Kisel, Е. М. Ovsiyuk외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 30.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 테트라드 기반의 공변 접근법을 사용한 Duffin-Kemmer-Petiau (DKP) 형식을 통해 콜롬브 포텐셜 내에서 스핀-1 입자의 상대론적 양자 행동을 연구한다. Wigner 함수를 사용하여 변수를 분리하고, 10성분의 반경 방향 시스템을 두 개의 대칭성 분해된 부분계로 줄인다: 스칼라 입자 경우와 동일한 4방정식 시스템과, 에너지 스펙트럼을 위한 하나의 수렴형 헤운 방정식과 하나의 해결되지 않은 복잡한 방정식을 포함하는 6방정식 시스템.

ABSTRACT

Quantum-mechanical system -- spin 1 particle in external Coulomb field is studied on the base of the matrix Duffin-Kemmer-Petiau formalism with the use of the tetrad technique. Separation of the variables is performed with the help of Wigner functions. With the help of parity operator, the radial 10-equation system is divided into two subsystem of 4 and 6 equations that correspond to parity P=(-1)^{j+1} and P= (-1)^{j} respectively. The system of 4 equation is reduced to a second order differential equation which coincides with that arising in the case of a scalar particle in Coulomb potential. It is shown that the 6-equation system reduces to two different second order differential equations for a "main" function. One main equation reduces to a confluent Heun equation and provides us with energy spectrum. Another main equation is a more complex one, and any solutions for it are not constructed.

연구 동기 및 목표

• 매트릭스 Duffin-Kemmer-Petiau 형식을 사용하여 외부 콜롬브 포텐셜 내에서 스핀-1 입자의 상대론적 역학을 분석한다.
• 일般 공변성을 위해 테트라드 기법을 적용하고 구좌표계에서 반경 방향 방정식을 단순화한다.
• Wigner 함수를 사용하여 변수를 분리하고, 대칭 양자수에 따라 해를 분류한다.
• 스핀-1 시스템의 에너지 스펙트럼을 유도하고 스칼라 및 스핀-1/2 경우와 비교한다.
• 비상대론적 근사에서의 해를 분석하고, 초함수 함수를 이용한 선형 독립 해를 구성한다.

제안 방법

• 스핀-1 입자를 콜롬브 장에 기술하기 위해 대각선 구좌표 테트라드를 사용한 Duffin-Kemmer-Petiau (DKP) 형식을 활용한다.
• Wigner 함수 $ D^{j}_{-m\tau}( heta,\theta,0) $ 를 사용하여 각도 및 반경 변수를 분리한다. 여기서 $ \tau = -1,0,+1 $.
• 대칭 연산자 $ \tilde{\Pi} $ 를 도입하여 10성분의 반경 방향 시스템을 두 부분계로 분해한다: 대칭 수 $ P = (-1)^{j+1} $ 인 4방정식 시스템과 $ P = (-1)^j $ 인 6방정식 시스템.
• 4방정식 시스템을 스칼라 입자에 대한 콜롬브 포텐셜과 동일한 두 번째 차수 미분방정식으로 줄인다.
• 6방정식 시스템을 '주요' 함수에 대한 두 개의 두 번째 차수 방정식으로 변환하고, 하나는 수렴형 헤운 방정식으로 줄어들고, 다른 하나는 해결되지 않은 채로 남는다.
• 변수 치환 $ x = 2\sqrt{-2\epsilon M}\,r $ 과 수렴형 초함수 함수 해법을 사용하여 헤운 유형 방정식을 풀고 에너지 스펙트럼을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 테트라드 기반의 공변 형식을 사용할 때, DKP 형식은 스핀-1 입자를 콜롬브 포텐셜 내에서 어떻게 기술하는가?
• RQ2 Wigner 함수를 사용한 변수 분리 후 반경 방향 시스템의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 대칭 양자수 $ P = (-1)^j $ 와 $ P = (-1)^{j+1} $ 는 DKP 시스템의 해를 어떻게 분류하는가?
• RQ4 6방정식 부분계는 해석 가능한 미분방정식으로 줄일 수 있는가? 만약 가능하면, 에너지 스펙트럼을 제공하는 것은 어떤 것인가?
• RQ5 해의 비상대론적 근사는 무엇이며, 특수함수의 관점에서 어떻게 표현되는가?

주요 결과

• 대칭 수 $ P = (-1)^{j+1} $ 인 4방정식 부분계는 스칼라 입자에 대한 콜롬브 포텐셜과 동일한 두 번째 차수 미분방정식으로 줄어든다.
• 대칭 수 $ P = (-1)^j $ 인 6방정식 부분계는 하나의 방정식이 수렴형 헤운 방정식으로 줄어들며, 이는 에너지 스펙트럼을 제공한다.
• 에너지 스펙트럼은 $ \epsilon = -\frac{me^4}{2\hbar^2(1 + \nu + n)^2} $ 로 유도되며, 여기서 $ \nu = \sqrt{j(j+1)} $ 이고, 주 양자수 $ n' = 1 + \nu + n $ 에 대해 수소원자 스펙트럼과 일치한다.
• 6방정식 시스템의 두 번째 방정식는 해석적으로 해결되지 않으며, 이에 대한 해는 구성되지 않았다.
• 비상대론적 근사에서 초함수 함수를 사용하여 세 개의 선형 독립 해가 구성되었다.
• 이 방법은 물리적으로 의미 있는 대칭 부분공간으로 DKP 시스템을 분리하고, 주요 스펙트럼 방정식을 식별하는 데 성공했다.