[논문 리뷰] On the weight distributions of several classes of cyclic codes from APN monomials

Chunlei Li, Nian Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 27.

Coding theory and cryptography참고 문헌 17인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $fi{F}_p$ 위에서 거의 완전 비선형(APN) 단항식을 사용하여 세 가지 무게를 가진 순환 코드를 구성하는 통합 프레임워크를 제시하며, 지수 합 분석을 통해 그 무게 분포를 수립한다. $p \equiv 3 \pmod{4}$인 경우, 지수 합 $T(a,b)$와 $S(a,b,c)$의 값 분포를 완전히 규명하여, 순환 코드 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$의 정확한 무게 수를 가능하게 하며, $p=3$ 이면서 짝수인 $e$인 경우 이중 코드의 최소 거리가 5로 최적임을 증명하는 데 응용한다.

ABSTRACT

Let $m\geq 3$ be an odd integer and $p$ be an odd prime. % with $p-1=2^rh$, where $h$ is an odd integer. In this paper, many classes of three-weight cyclic codes over $\mathbb{F}_{p}$ are presented via an examination of the condition for the cyclic codes $\mathcal{C}_{(1,d)}$ and $\mathcal{C}_{(1,e)}$, which have parity-check polynomials $m_1(x)m_d(x)$ and $m_1(x)m_e(x)$ respectively, to have the same weight distribution, where $m_i(x)$ is the minimal polynomial of $π^{-i}$ over $\mathbb{F}_{p}$ for a primitive element $π$ of $\mathbb{F}_{p^m}$. %For $p=3$, the duals of five classes of the proposed cyclic codes are optimal in the sense that they meet certain bounds on linear codes. Furthermore, for $p\equiv 3 \pmod{4}$ and positive integers $e$ such that there exist integers $k$ with $\gcd(m,k)=1$ and $τ\in\{0,1,\cdots, m-1\}$ satisfying $(p^k+1)\cdot e\equiv 2 p^τ\pmod{p^m-1}$, the value distributions of the two exponential sums $T(a,b)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e)}$ and $ S(a,b,c)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e+cx^s)}, $ where $s=(p^m-1)/2$, are settled. As an application, the value distribution of $S(a,b,c)$ is utilized to investigate the weight distribution of the cyclic codes $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ with parity-check polynomial $m_1(x)m_e(x)m_s(x)$. In the case of $p=3$ and even $e$ satisfying the above condition, the duals of the cyclic codes $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ have the optimal minimum distance.

연구 동기 및 목표

• 체 $\mathbb{F}_p$ 위에서 순환 코드 $\mathcal{C}_{(1,e)}$가 정확히 세 가지 무게를 가질 수 있는 일반 조건을 개발하는 것.
• $p \equiv 3 \pmod{4}$인 경우, $e$가 $p^k+1$과 $p^\tau$를 포함하는 특정 합동 조건을 만족할 때 지수 합 $T(a,b)$와 $S(a,b,c)$의 값 분포를 규명하는 것.
• $S(a,b,c)$의 값 분포를 활용하여 무게 다항식 $m_1(x)m_e(x)m_s(x)$를 가진 순환 코드 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$의 무게 분포를 계산하는 것, 여기서 $s = (p^m - 1)/2$이다.
• $p=3$ 이면서 짝수인 $e$가 합동 조건을 만족할 경우, 이중 코드 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}^\perp$가 최적의 최소 거리 5를 달성함을 증명하는 것.
• 이전의 세 가지 무게를 가진 순환 코드의 구축을 일반화하고 통합하여, 최근 문헌에서의 결과들이 제안된 프레임워크의 특수한 경우임을 보여주는 것.

제안 방법

• 논문은 $\mathbb{F}_p$ 위에서 $\pi^{-i}$의 최소 다항식 $m_i(x)$를 사용하여 순환 코드 $\mathcal{C}_{(1,e)}$와 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$를 각각 무결합 다항식 $m_1(x)m_e(x)$와 $m_1(x)m_e(x)m_s(x)$를 통해 정의한다.
• 순환 코드 $\mathcal{C}_{(1,d)}$와 $\mathcal{C}_{(1,e)}$ 사이의 무게 분포의 등가성을, $d$와 $e$의 지표가 $p^m - 1$ 모듈로에서 순환 코셋과 지수의 구조를 분석함으로써 확립한다.
• $p \equiv 3 \pmod{4}$인 경우, 유한체 위의 가우스 합과 캐릭터 합의 성질을 이용하여 지수 합 $T(a,b) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^m}} \omega^{\operatorname{Tr}(ax + b x^e)}$의 값 분포를 유도한다.
• $S(a,b,c) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^m}} \omega^{\operatorname{Tr}(ax + b x^e + c x^s)}$의 값 분포는 $\mathbb{F}_{p^{2m}}$에서의 방정정계를 풀어 계산되며, 조건 $(p^k + 1)e \equiv 2p^\tau \pmod{p^m - 1}$과 $\gcd(m,k) = 1$을 활용한다.
• 순환 코드 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$의 무게 분포는 지수 합의 해의 수와 코드워드의 해밍 무게 사이의 관계를 통해 결정된다.
• 증명은 $\mathbb{F}_{p^{2m}}$에서 $x^{p^k+1} + y^{p^k+1} = \beta$와 $x^{p^m+1} = \pm \alpha^{(p^m-1)/2}$ 형태의 방정식의 해를 세는 데 기반하며, 가우스 합과 캐릭터 이론의 성질을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체 $\mathbb{F}_p$ 위에서 순환 코드 $\mathcal{C}_{(1,e)}$가 정확히 세 가지 무게를 가지기 위한 $e$, $p$, $m$에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 $p \equiv 3 \pmod{4}$이고 $s = (p^m - 1)/2$일 때, 지수 합 $S(a,b,c) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^m}} \omega^{\operatorname{Tr}(ax + b x^e + c x^s)}$의 정확한 값 분포는 무엇인가?
• RQ3 $S(a,b,c)$의 값 분포를 어떻게 활용하여 순환 코드 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$의 완전한 무게 분포를 계산할 수 있는가?
• RQ4 $p=3$ 이며 짝수인 $e$가 $(p^k + 1)e \equiv 2p^\tau \pmod{p^m - 1}$를 만족하고 $\gcd(2m,k) = 1$일 때, 이중 코드 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}^\perp$는 최적의 최소 거리 5를 달성하는가?
• RQ5 기존 문헌에서 알려진 모든 APN 단항식에서 유도된 세 가지 무게를 가진 순환 코드는 이 논문에서 제안된 일반 구축의 특수한 경우인가?

주요 결과

• 논문은 $p \equiv 3 \pmod{4}$이고 $e$가 $(p^k + 1)e \equiv 2p^\tau \pmod{p^m - 1}$를 만족하며 $\gcd(m,k) = 1$일 때, 지수 합 $T(a,b)$가 $\{0, \pm(p+1), \pm 2(p+1)\}$ 내에서 값을 가지며, $a$와 $b$에 따라 정확한 개수로 나뉘어짐을 규명한다.
• $S(a,b,c)$의 값 분포는 완전히 규명되었으며, 값은 $\{0, \pm 8(p+1), \pm 4(p+1), \pm 2(p+1), p+1\}$에 속하며, $\alpha$가 비제곱수이고 $\beta \in S_1(\alpha)$일 때 $8(p+1)$이 발생하고, 그 외에는 0이다.
• $x^{p^k+1} + y^{p^k+1} = \beta$의 해의 수는 $\beta \in S_1(\alpha)$일 때 $2(p+1)$이며, $\beta = \alpha^{(p^k+1)/2}$일 때는 $p+1$이다. 이에 따라 $|S_1(\alpha)| = (p^m - p)/(2(p+1))$가 된다.
• $S(a,b,c)$와 관련된 방정식계의 총 해의 수 $\mathcal{N}_4$는 $p \equiv 3 \pmod{4}$일 때 $\mathcal{N}_4 = 2p^{2m} - p^{m+1} - p^m + p$로 유도되며, 해의 수와 캐릭터 합 분석을 통해 유도된다.
• $p=3$ 이며 짝수인 $e$가 $\gcd(2m,k) = 1$ 조건을 만족할 경우, 이중 코드 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}^\perp$는 최적의 최소 거리 5를 달성함을 확인하였다.
• 이전에 알려진 문헌에서의 모든 APN 단항식에서 유도된 세 가지 무게를 가진 순환 코드는 이 논문에서 제안된 일반 구축의 특수한 사례임을 보였다.