[논문 리뷰] On the Weil representation of infinite-dimensional symplectic group over a finite field

Yury A. Neretin|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 21.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 무한차원 심플렉틱군의 Weil 표현을 선형 관계의 범주에로 확장하여, 완벽한 라그랑주 선형 관계의 합성은 다시 완벽한 라그랑주 관계가 됨을 확립한다. 핵심 기여는 $\varepsilon^2(V^{d}_{\infty})$ 위에 존재하는 심플렉틱군의 유니터리 표현 $W(g)$로, 이는 히젠베르크 군 작용과 교환 관계를 가지며, 국소적으로 컴act한 아벨 군에서의 쌍대성과 수직성에 기반한 추론을 통해 합성에 대해 닫혀 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We extend the Weil representation of infinite-dimensional symplectic group to a representation a certain category of linear relations.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 심플렉틱군 $\mathrm{Sp}(\mathbb{V}_{2\infty})$의 Weil 표현을 선형 관계의 범주로 확장하는 것.
• 국소적으로 컴 pact한 아벨 군의 맥락에서 완전한 라그랑주 선형 관계의 구조를 특성화하는 것.
• 완전한 라그랑주 선형 관계의 합성이 다시 완전한 라그랑주 관계가 되는 것을 증명하여 합성에 대한 닫힘을 확보하는 것.
• 다음 조건을 만족하는 $\ell^2(V^{d}_{\infty})$ 위의 유니터리 표현 $W(g)$를 수립하는 것: $a(vg) = W(g)^{-1}a(v)W(g)$.

제안 방법

• 스칼라 비대칭 형식 $\{\cdot,\cdot\}$과 폰트리아긴 쌍대성을 지닌 무한차원 심플렉틱 공간 $\mathbb{V}_{2\mu} = V^{d}_{\mu} \oplus V^{c}_{\mu}$ 를 정의한다.
• 연산자 $a(v)$를 통해 $\ell^2(V^{d}_{\mu})$ 위에 히젠베르크 군의 프로젝티브 유니터리 표현을 구성하며, $a(v)a(w) = \mathsf{Exp}(\frac{1}{2}\{v,w\})a(v+w)$ 를 만족시킨다.
• 심플렉틱군 $g \in \mathrm{Sp}(\mathbb{V}_{2\infty})$ 에 대해 $a(vg) = W(g)^{-1}a(v)W(g)$ 를 만족하는 스칼라를 제외한 유일한 유니터리 연산자로 Weil 표현 $W(g)$ 를 정의한다.
• 선형 관계의 범주 $T: \mathbb{V}_{2\mu} \rightrightarrows \mathbb{V}_{2\nu}$ 를 도입하며, 사영을 통한 핵, 정의역, 상, 비정규성 등을 정의한다.
• 완전한 라그랑주 선형 관계를 $\mathbb{V}_{2\mu} \oplus \mathbb{V}_{2\nu}$ 내의 최대 자기수직 부분공간 $T$ 로 정의하며, 핵, 상 및 그 수직에 대해 컴팩트성과 코디스크리트니스 조건을 만족시킨다.
• 몫공간에서의 쌍대성과 수직성에 기반한 추론을 통해, $T$ 와 $S$ 가 완전한 라그랑주 관계이면 $ST$ 도 완전한 라그랑주 관계임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 위의 무한차원 심플렉틱군의 Weil 표현은 선형 관계의 범주로 확장될 수 있는가?
• RQ2 국소적으로 컴 pact한 아벨 군의 맥락에서 완전한 라그랑주 선형 관계를 정의하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 두 완전한 라그랑주 선형 관계의 합성이 다시 완전한 라그랑주 관계가 되는가?
• RQ4 Weil 표현 $W(g)$ 는 어떻게 히젠베르크 군 작용과 교환 관계 $a(vg) = W(g)^{-1}a(v)W(g)$ 를 통해 상호작용하는가?

주요 결과

• 모든 $g \in \mathrm{Sp}(\mathbb{V}_{2\infty})$ 에 대해 $a(vg) = W(g)^{-1}a(v)W(g)$ 를 만족하는 $\ell^2(V^{d}_{\infty})$ 위의 유니터리 연산자 $W(g)$ 가 존재한다.
• 표현 $W(g)$ 는 모듈러스 1인 $\mathbb{C}^\times$ 의 값들을 취하는 프로젝티브 표현이지만, 무한차원 경우에 선형인지 프로젝티브인지 여부는 알려져 있지 않다.
• 완전한 라그랑주 선형 관계는 핵이 컴팩트하고 비정규성이 있는 최대 자기수직 부분공간이며, 정의역과 상이 코디스크리트하다.
• 두 완전한 라그랑주 선형 관계 $T: \mathbb{V}_{2\mu} \rightrightarrows \mathbb{V}_{2\nu}$, $S: \mathbb{V}_{2\nu} \rightrightarrows \mathbb{V}_{2\varkappa}$ 의 합성 $ST$ 는 수직성에 기반한 몫공간에서의 추론을 통해 다시 완전한 라그랑주 관계임을 보였다.
• 완전한 라그랑주 관계 $T$ 의 가상역행렬 $T^\square$ 는 $T^\square = (T^\lozenge)^\lozenge$ 를 만족하며, 이는 수반 연산에 대해 닫혀 있음을 보여준다.
• Weil 연산자 $W(P)$ 의 수반은 $W(P)^* a(-w) = a(-v) W(P)^*$ 를 만족하며, 이는 $W(P)^*$ 가 $W(P^\square)$ 와 일치함을 보여주며, 이는 쌍대성과의 호환성을 확인한다.