[논문 리뷰] On the well-posedness of Bayesian inversion for PDEs with ill-posed forward problems

Samuel Lanthaler, Siddhartha Mishra외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 01.

Reservoir Engineering and Simulation Methods참고 문헌 26인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 유한성 존재나 안정성이 보장되지 않는 선형미분방정식(forward problem)을 갖는 PDE에 대한 베이지안 역문제의 잘 정의됨(well-posedness)을 확립한다. 예를 들어 오일러 방정식과 레이놀즈 평균 나비에-스토크스 방정식 등이다. 일반적인 수치 근사에 대한 가정 하에, 노이즈가 있는 관측치의 변화에 대해 사후 측도의 존재성과 안정성을 증명하며, 이는 시간에 따라 변화하는 자료 융합(filtering) 문제로 잘 정의됨을 확장한다.

ABSTRACT

We study the well-posedness of Bayesian inverse problems for PDEs, for which the underlying forward problem may be ill-posed. Such PDEs, which include the fundamental equations of fluid dynamics, are characterized by the lack of rigorous global existence and stability results as well as possible non-convergence of numerical approximations. Under very general hypotheses on approximations to these PDEs, we prove that the posterior measure, expressing the solution of the Bayesian inverse problem, exists and is stable with respect to perturbations of the (noisy) measurements. Moreover, analogous well-posedness results are obtained for the data assimilation (filtering) problem in the time-dependent setting. Finally, we apply this abstract framework to the incompressible Euler and Navier-Stokes equations and to hyperbolic systems of conservation laws and demonstrate well-posedness results for the Bayesian inverse and filtering problems, even when the underlying forward problem may be ill-posed.

연구 동기 및 목표

• 기본 선형미분방정식 모델이 전역 존재나 안정성이 없을 때, 베이지안 역문제에 직면하는 도전 과제를 다루기.
• 선형미분방정식 모델이 잘 정의되지 않더라도 사후 측도가 여전히 잘 정의되는 조건을 엄밀하게 설정하기.
• 잘 정의됨 결과를 선형미분방정식이 잘 정의되지 않는 시간에 따라 변화하는 자료 융합(filtering) 문제로 확장하기.
• 압축성 없는 오일러 방정식과 나비에-스토크스 방정식을 포함한 기본 유체역학 방정식에 적용 가능한 일반적인 프레임워크 제공하기.
• 수치 근사가 선형미분방정식의 해에 수렴하지 않더라도 사후 측도의 안정성과 존재성이 유지됨을 보여주기.

제안 방법

• 선형미분방정식의 전방 연산자를 가능하면 잘 정의되지 않은 사상으로 간주하는 일반적인 함수해석학적 설정에서 베이지안 역문제를 수립하기.
• 전방 선형미분방정식의 근사에 대해 최소한의 가정 하에 약한 수렴과 측도의 강도 있는 수렴을 이용하여 사후 측도의 존재성을 증명하기.
• 측도의 약한 수렴을 통해 노이즈가 있는 관측치의 변화에 대한 사후 측도의 안정성을 확립하기.
• 시간에 따라 변화하는 전방 모델을 갖는 시계열 시스템에 프레임워크를 적용하기 위해 필터링 문제를 순차적인 베이지안 업데이트로 모델링하기.
• 수렴이 필요하지 않은 일반적인 근사 방법(예: 유한요소법 또는 유한체적법)에 대한 가정을 활용하기.
• 강한 수렴이 없는 전방 문제를 다루기 위해 측도 이론 도구(예: 프로크호로프 정리 및 스토르코호드 정리)를 사용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형미분방정식이 잘 정의되지 않을 때, 베이지안 역문제의 사후 측도가 어떤 조건에서 잘 정의되는가?
• RQ2 선형미분방정식이 전역 존재나 안정성이 없더라도, 노이즈가 있는 측정치의 변화에 대해 사후 측도의 안정성이 보장될 수 있는가?
• RQ3 이 프레임워크는 선형미분방정식이 잘 정의되지 않는 보존법칙을 포함하는 시간에 따라 변화하는 자료 융합 문제로 확장될 수 있는가?
• RQ4 수렴이 보장되지 않는 일반적인 근사 방법은 역문제의 잘 정의됨에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이론적 결과는 압축성 없는 오일러 방정식과 나비에-스토크스 방정식과 같은 기본 유체역학 방정식에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 근사가 약한 일반적인 가정을 만족하면, 잘 정의되지 않는 선형미분방정식을 포함하는 베이지안 역문제에서 사후 측도가 존재한다.
• 노이즈가 있는 관측치의 변화에 대해 사후 측도가 안정적이며, 이는 노이즈가 있는 측정치에 대한 베이지안 추론의 강건성을 보장한다.
• 시간에 따라 변화하는 필터링 문제에 대해서도 잘 정의됨이 확립되며, 이는 기초 선형미분방정식 전방 모델이 잘 정의되지 않더라도 가능하다.
• 결과는 압축성 없는 오일러 방정식과 나비에-스토크스 방정식에 직접 적용되며, 이들 방정식이 알려진 바와 같이 전역 존재나 안정성 결과가 없더라도 가능하다.
• 사후 측도의 안정성과 존재성은 수치 근사가 선형미분방정식의 해에 수렴할 필요는 없으며, 근사 측도의 약한 수렴만으로도 충분하다.
• 이 프레임워크는 전통적인 전방 해법이 실패할 수 있는 유체역학과 보존법칙에서의 불확실성 정량화에 엄밀한 기반을 제공한다.