[논문 리뷰] On the well-posedness of the incompressible Euler Equation

Hasan İnci|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 25.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 5인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 $H^s(\mathbb{R}^n)$에서 $s > n/2 + 1$인 경우 비압축성 옐러 방정식이 체적을 보존하는 미분형식의 무한차원 다양체 위에서 지름길 방정식으로 공식화될 수 있음을 증명한다. 이 기하학적 프레임워크를 사용하여, 해 사상이 초기 자료에 대해 어디서도 국소적으로 균일하게 연속적이지 않으며, 어디서도 미분 가능하지 않음을 입증함으로써, $C^1$ 의미에서 강한 부적절성(ill-posedness)을 드러낸다.

ABSTRACT

In this thesis we prove that the homogeneous incompressible Euler equation of hydrodynamics on the Sobolev spaces $H^s(\R^n)$, $n \geq 2$ and $s > n/2+1$, can be expressed as a geodesic equation on an infinite dimensional manifold. As an application of this geometric formulation we prove that the solution map of the incompressible Euler equation, associating intial data in $H^s(\R^n)$ to the corresponding solution at time $t > 0$, is nowhere locally uniformly continuous and nowhere differentiable.

연구 동기 및 목표

• 비압축성 옐러 방정식을 체적을 보존하는 미분형식의 무한차원 다양체 위에서 지름길 방정식으로 기하학적으로 공식화하는 것.
• Sobolev 공간 $H^s(\mathbb{R}^n)$에서 초기 자료에서 시간 $t > 0$일 때의 해로의 사상의 정규성 성질을 분석하는 것.
• $H^s$ 위상에서 $s > n/2 + 1$인 경우 해 사상이 어디서도 국소적으로 균일하게 연속적이지 않고, 어디서도 미분 가능하지 않음을 증명하는 것.
• 해 사상의 리프시츠 연속성이 부족하기 때문에 표준적인 수축 사상 방법이 적용될 수 없음을 보여주는 것.

제안 방법

• 체적을 보존하는 미분형식의 군 $\mathcal{D}^s(\mathbb{R}^n)$에 $H^s$ 오른쪽 불변 리만 계량을 부여하여 비압축성 옐러 방정식을 지름길 방정식으로 공식화하는 것.
• 유체 흐름의 유럽형 표현을 사용하여 방정식을 체적을 보존하는 미분형식의 무한차원 다양체 위의 이阶 미분방정식으로 표현하는 것.
• 다양체 위의 지수 사상(Exponential map)을 사용하여 초기 속도 장을 시간에 따른 흐름과 연결하는 것.
• 바이오-사바르 법칙을 통한 코어티시티 표현을 이용하여 $H^s$ 공간에서 코어티시티로부터 속도 장을 추정하는 것.
• Sobolev 임bedding과 $H^s$ 공간에서 미분 가능하고 컴acts지지된 발산이 0인 벡터 장의 조밀성을 활용하여 근사화를 정당화하는 것.
• 리프시츠 또는 균일 연속성 기준을 만족하지 못하는 초기 자료의 수열을 구성하여 비미분 가능성과 균일 연속성 부족을 입증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비압축성 옐러 방정식은 체적을 보존하는 미분형식의 무한차원 다양체 위에서 지름길 흐름으로 기하학적으로 해석될 수 있는가?
• RQ2 $s > n/2 + 1$인 경우 $H^s(\mathbb{R}^n)$ 위상에서 초기 자료 $u_0$에서 시간 $t > 0$일 때의 해로의 사상 $u_0 \mapsto u(t)$의 정규성 성질은 무엇인가?
• RQ3 $H^s$에서 $s > n/2 + 1$인 경우 해 사상은 국소적으로 균일하게 연속적이거나 미분 가능한가?
• RQ4 기하학적 및 함수해석적 도구를 사용하여 해 사상의 리프시츠 연속성 부족을 엄밀히 증명할 수 있는가?

주요 결과

• $H^s(\mathbb{R}^n)$에서 $s > n/2 + 1$인 경우 비압축성 옐러 방정식은 체적을 보존하는 미분형식의 다양체 $\mathcal{D}^s_{\mu}(\mathbb{R}^n)$ 위에서 지름길 공식화를 가진다.
• $H^s(\mathbb{R}^n)$에서 $s > n/2 + 1$인 경우 해 사상 $u_0 \mapsto u(t)$는 어디서도 국소적으로 균일하게 연속적이지 않다.
• $H^s(\mathbb{R}^n)$에서 $s > n/2 + 1$인 경우 해 사상은 프레셰 미분 의미에서 어디서도 미분 가능하지 않다.
• 비미분 가능성은 이 설정에서 해를 구성하기 위해 수축 사상 방법을 사용할 수 없다는 것을 의미한다.
• 해가 국소적으로 잘 정의되어 있음에도 불구하고 이 결과는 존재성과 부드러운 의존성 사이의 격차를 드러낸다.
• 이 증명은 바이오-사바르 법칙과 Sobolev 임bedding을 활용하여 코어티시티로부터 속도를 제어하고, $H^s$에서 미분 가능하고 컴acts지지된 벡터 장의 조밀성을 활용한다.