[논문 리뷰] On the Witten index in terms of spectral shift functions

Alan L. Carey, Fritz Gesztesy외 3명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 03.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 41인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 모델 연산자 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A} = \frac{d}{dt} + \boldsymbol{A}$ 의 위튼 지수에 대한 공식을, 점 游근 연산자 $A_\pm$ 와 관련된 스펙트럼 이동 함수 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ 를 통해 수립한다. 핵심 결과는 해석적 및 반군 정규화된 위튼 지수가 서로 일치하며, 이는 영점에서 스펙트럼 이동 함수의 왼쪽 및 오른쪽 레베그 극한의 평균과 같다: $W_r = W_s = \frac{1}{2}\big(\xi_L(0_+; A_+, A_-) + \xi_L(0_-; A_+, A_-)\big)$, 이는 프레드홀름 지수 개념을 프레드홀름이 아닌 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

We study the model operator $\mathbf{D}_{\mathbf{A}} = (d/dt) + \mathbf{A}$ in $L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$ associated with the operator path $\{A(t)\}_{t=-\infty}^{\infty}$, where $(\mathbf{A} f)(t) = A(t) f(t)$ for a.e.\ $t\in\mathbb{R}$, and appropriate $f \in L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$ (with $\mathcal{H}$ a separable, complex Hilbert space). Denoting by $A_{\pm}$ the norm resolvent limits of $A(t)$ as $t o \pm \infty$, our setup permits $A(t)$ in $\mathcal{H}$ to be an unbounded, relatively trace class perturbation of the unbounded self-adjoint operator $A_-$, and no discrete spectrum assumptions are made on $A_{\pm}$. We introduce resolvent and semigroup regularized Witten indices of $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$, denoted by $W_r$ and $W_s$, and prove that these regularized indices coincide with the Fredholm index of $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$ whenever the latter is Fredholm. In situations where $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$ ceases to be a Fredholm operator in $L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$ we compute its resolvent (resp., semigroup) regularized Witten index in terms of the spectral shift function $ξ(\,\cdot\,;A_+,A_-)$ associated with the pair $(A_+, A_-)$ as follows: Assuming $0$ to be a right and a left Lebesgue point of $ξ(\,\cdot\,\, ; A_+, A_-)$, denoted by $ξ_L(0_+; A_+,A_-)$ and $ξ_L(0_-; A_+, A_-)$, we prove that $0$ is also a right Lebesgue point of $ξ(\,\cdot\,\, ; \mathbf{H_2}, \mathbf{H_1})$, denoted by $ξ_L(0_+; \mathbf{H_2}, \mathbf{H_1})$, and that \begin{align*} W_r(\mathbf{D}_{\mathbf{A}}) &= W_s(\mathbf{D}_{\mathbf{A}}) \\ & = ξ_L(0_+; \mathbf{H_2}, \mathbf{H_1}) \\ & = [ξ_L(0_+; A_+,A_-) + ξ_L(0_-; A_+, A_-)]/2, \end{align*} the principal result of this paper. In the special case where $\dim(\mathcal{H}) < \infty$, we prove that the Witten indices of $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$ are either integer, or half-integer-valued.

연구 동기 및 목표

• 힐버트 공간 값의 $L^2$-공간 위에서 미분 연산자에 대해 프레드홀름 지수 개념을 비-프레드홀름 설정으로 확장하기.
• 자기수반 연산자 경로를 갖는 연산자 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A} = \frac{d}{dt} + \boldsymbol{A}$ 에 대해 해석적 및 반군 정규화된 위튼 지수를 정의하고 분석하기.
• 상대적으로 트레이스-클래스 조작이 있는 경우, 위튼 지수와 스펙트럼 이동 함수 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ 사이의 정확한 관계를 수립하기.
• 위튼 지수가 영점에서 스펙트럼 이동 함수의 왼쪽 및 오른쪽 레베그 극한의 합의 반값과 같다는 것을 보여주기, 이는 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}$ 가 프레드홀름이 아닐 경우에도 성립한다.
• 유한차원 힐버트 공간에서 위튼 지수가 정수 또는 반정수 값을 가진다는 것을 증명하기.

제안 방법

• 자기수반 연산자 경로 $A(t)$ 를 곱하는 연산자 $\boldsymbol{A}$ 를 갖는 $L^2(\mathbb{R}; \mathcal{H})$ 에서 모델 연산자 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A} = \frac{d}{dt} + \boldsymbol{A}$ 를 정의한다. 이때 $A(t)$ 는 점근적 극한 $A_\pm$ 을 갖는다.
• 비음수 자기수반 연산자 $\boldsymbol{H}_1 = \boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}$ 와 $\boldsymbol{H}_2 = \boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}^*$ 를 도입한다.
• 해석적 정규화된 위튼 지수를 다음과 같이 정의한다: $W_r(\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}) = \lim_{\lambda \uparrow 0} (-\lambda) \operatorname{tr}\big( (\boldsymbol{H}_1 - \lambda I)^{-1} - (\boldsymbol{H}_2 - \lambda I)^{-1} \big)$.
• 반군 정규화된 위튼 지수를 다음과 같이 정의한다: $W_s(\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}) = \lim_{t \uparrow \infty} \operatorname{tr}\big( e^{-t\boldsymbol{H}_1} - e^{-t\boldsymbol{H}_2} \big)$.
• 스펙트럼 이동 함수 이론을 이용해 해석적 연산자 차이와 반군 차이를 스펙트럼 이동 함수 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ 와 연결한다.
• 영점에서 레베그 점 가정이 성립할 경우, $W_r = W_s = \xi_L(0_+; \boldsymbol{H}_2, \boldsymbol{H}_1) = \frac{1}{2}\big(\xi_L(0_+; A_+, A_-) + \xi_L(0_-; A_+, A_-)\big)$ 를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-프레드홀름 형태의 연산자 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A} = \frac{d}{dt} + \boldsymbol{A}$ 에 대해 위튼 지수를 어떻게 정의하고 계산할 수 있는가?
• RQ2 점근적 연산자 $A_\pm$ 에 대해 위튼 지수와 스펙트럼 이동 함수 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 해석적 및 반군 정규화된 위튼 지수가 언제 일치하는가?
• RQ4 위튼 지수는 영점에서 스펙트럼 이동 함수의 왼쪽 및 오른쪽 레베그 극한의 합의 반값으로 표현될 수 있는가?
• RQ5 힐버트 공간 $\mathcal{H}$ 가 유한차원일 경우 위튼 지수의 가능한 값은 무엇인가?

주요 결과

• 해석적 및 반군 정규화된 위튼 지수 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}$ 는 존재할 경우 항상 일치한다.
• 위튼 지수는 쌍 $(\boldsymbol{H}_2, \boldsymbol{H}_1)$ 에 대해 영점에서의 스펙트럼 이동 함수와 같으며, 즉 $W_r = W_s = \xi_L(0_+; \boldsymbol{H}_2, \boldsymbol{H}_1)$ 이다.
• 이 지수는 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ 의 영점에서의 왼쪽 및 오른쪽 레베그 극한의 평균으로 주어진다: $W_r = W_s = \frac{1}{2}\big(\xi_L(0_+; A_+, A_-) + \xi_L(0_-; A_+, A_-)\big)$.
• 이 결과는 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ 가 영점에서 오른쪽 및 왼쪽 레베그 점이어야 하며, 이는 관련 극한의 존재를 보장한다.
• 유한차원 경우($\dim(\mathcal{H}) < \infty$) 에서는 위튼 지수가 정수 또는 반정수 값을 가진다.
• 증명은 트레이스 추정과 아벨 변환에 기반하며, 지수 함수와 관련된 함수의 $C^2$-노름 및 상대 트레이스-클래스 조작에 기반한 주요 경계가 유도된다.