[논문 리뷰] On the Woodin Construction of Failure of GCH at a Measurable Cardinal

Yoav Ben Shalom|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 25.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 측정 가능 기수 $\kappa$에서 일반화된 연속체 가설(GCH)이 성립하지 않는 워딘의 유형의 일반화된 확장에 대해, 이전에 필요로 했던 추가 강제 단계를 제거함으로써 그 구축을 정교화한다. 모든 비가환 기수 $\alpha \leq \kappa$에 대해 $\alpha^{+\gamma}$를 늘리는 이스트온-지지 반복 강제를 사용함으로써, 저자들은 $\kappa^{+\gamma} = \kappa_M^{+\gamma}$를 만족하는 임의의 후속 순서수 $\gamma < \kappa$에 대해, 기본 삽입 $j: V \to M$이 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$에서 직접적으로 올라올 수 있고 정의 가능성을 유지함을 증명한다. 주요 기여는 추가 강제 없이도 GCH가 $\kappa$에서 실패하는 최소한의 강제 구조를 획득하는 간결한 구성이다.

ABSTRACT

Let GCH hold and let $j:V\longrightarrow M$ be a definable elementary embedding such that $crit(j)=κ$, $^κM\subseteq M$ and $κ^{++}=κ_{M}^{++}$. H. Woodin proved that there is a cofinality preserving generic extension in which $κ$ is measurable and GCH fails at it. This is done by using an Easton support iteration of Cohen forcings for blowing the power of every inaccessible $α\leqκ$ to $α^{++}$, and then adding another forcing on top of that. We show that it is enough to use the iterated forcing, and that the latter forcing is not needed. We will show this not only for the case where $κ^{++}=κ_{M}^{++}$, but for every successor ordinal $γ$, where $0&lt; γ&lt; κ$, we will show it when the assumption is $κ^{+γ}=κ_{M}^{+γ}$.

연구 동기 및 목표

• 측정 가능 기수 $\kappa$에서 연속체 가설(GCH)이 실패하는 코finality를 유지하는 워딘의 구축을 단순화하는 것.
• 이전에 필요로 했던 추가 강제 단계를 제거하여, 이스트온-지지 반복 이외의 강제 단계가 필요로 하지 않도록 하는 것.
• 기존의 $\gamma = 2$ 경우에서부터 모든 후속 순서수 $\gamma$에 대해 일반화하는 것. 이때 조건은 $\kappa^{+\gamma} = \kappa_M^{+\gamma}$이다.
• 기본 삽입 $j$가 추가 강제 없이도 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$에서 직접적으로 올라올 수 있고, 정의 가능성이 유지됨을 증명하는 것.

제안 방법

• 모든 비가환 기수 $\alpha \leq \kappa$에 대해 $\mathbb{Q}_\alpha = \mathrm{Add}(\alpha, \alpha^{+\gamma})_{V[G_\alpha]}$이고, 나머지 경우는 자명한 강제를 사용하는 이스트온-지지 반복 $\mathbb{P}^\gamma = \mathbb{P}_{\kappa+1}^\gamma$를 사용한다.
• 추가 강제 확장을 피하기 위해 직접적인 구성 방법을 사용하여, 정의 가능한 기본 삽입 $j: V \to M$을 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$로 올리는 것.
• 우도 $M[G \ast g \ast H]$에서의 귀납과 닫힘 성질을 이용하여, $j(\kappa)$에서 $j(\gamma)$로의 상호단사 부분 함수 $f_i$의 시퀀스를 구성하고, 각각의 범위가 $S_i'$로 정의된다.
• 우도플레인 삽입과 확장자 모델의 구조를 활용하여, 올라온 삽입의 범위가 확장에서 잘 정의되고 잘 행동함을 보장한다.
• 임계점의 코finality에 대해 귀납을 적용하고, $T_l^i$와 $i(\gamma_l^i)_0$의 성질을 사용하여 집합의 상에 대한 이미지를 제어한다.
• $|I| = \gamma = |j(\kappa)|$라는 사실을 활용하고, $M[G \ast g \ast H]$에서 $j(\kappa)$를 $|I|$개의 서로소 부분집합으로 나누어, 단사성과 정의역 커버리지가 보장되도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 워딘의 원래 구축에서 추가 강제 단계를 제거하면서도 측정 가능 기수 $\kappa$에서 GCH의 실패를 달성할 수 있는가?
• RQ2 조건 $\kappa^{+\gamma} = \kappa_M^{+\gamma}$ 하에, $V^{\mathbb{P}^\gamma}$에서 추가 강제 없이도 기본 삽입 $j: V \to M$을 직접적으로 올릴 수 있는가?
• RQ3 기존의 $\gamma = 2$ 경우에서부터 모든 후속 순서수 $\gamma < \kappa$로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 단지 반복 강제만을 사용할 경우, 삽입 $j$의 정의 가능성은 확장 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$에서 유지되는가?

주요 결과

• 논문은 이전에 삽입 $j$를 올리기 위해 필요로 했던 추가 강제 단계가 불필요하며, 이스트온-지지 반복 강제 $\mathbb{P}^\gamma$만으로도 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$에서 $j$를 올리고 정의 가능성을 유지할 수 있음을 증명한다.
• 모든 후속 순서수 $\gamma$에 대해 $0 < \gamma < \kappa$이면, $\kappa^{+\gamma} = \kappa_M^{+\gamma}$이면, $\mathbb{P}^\gamma$가 $j$를 $V^{\mathbb{P}^\gamma}$로 올리며 정의 가능성을 유지한다.
• 모든 비가환 기수 $\alpha \leq \kappa$에 대해 작동하며, $\mathrm{Add}(\alpha, \alpha^{+\gamma})$를 사용하여 $\alpha^{+\gamma}$를 $\alpha^{+\gamma}$로 늘림으로써 코finality 유지 보장.
• 상호단사 함수 $f_i$의 직접적 구성으로 올림을 달성하며, 각 $f_i$의 범위는 $S_i'$를 커버하고, 그 합집합인 $f = \bigcup f_i$는 $j(\kappa)$에서 $j(\gamma)$로의 전단사 함수이다.
• 핵심 기술적 혁신은 $|I| = \gamma = |j(\kappa)|$인 시퀀스 $\langle f_i \mid i \in I \rangle$의 사용이며, 각 $f_i$는 $A_i$와 $B_i$를 이용해 귀납적으로 구성되어 정의역의 서로소성과 단사성을 보장한다.
• 증명은 $Y \in P_{j(\kappa)^+}(j(\gamma))^{M[G \ast g \ast H]}$이면, 어떤 $Z \in M[G \ast g \ast H]$에 대해 $Y \subseteq f''Z$임을 보여, 확장에서 필요한 닫힘성과 정의 가능성의 유지가 확인된다.