[논문 리뷰] On the works of Euler and his followers on spherical geometry

Athanase Papadopoulos|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 16.

History and Theory of Mathematics참고 문헌 8인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 오일러와 그의 후속자들—특히 렉셀과 숙베르트—의 구기하학 분야 기여를 검토하고 분석한다. 주로 구삼각함수, 내재 기하학 정리, 지ap도 투영을 중심으로 하며, 고정 면적을 가진 구삼각형의 꼭짓점의 위치를 기술하는 렉셀의 정리와 오일러의 파푸스 정리의 구기하학적 해석 등 주요 결과를 강조한다. 이는 유클리드 기하학과 깊은 유사성을 보이며, 고체 기하학에 의존하지 않고 변분법과 극성 이론을 활용한 내재적 증명 방법을 보여준다.

ABSTRACT

We review and comment on some works of Euler and his followers on spherical geometry. We start by presenting some memoirs of Euler on spherical trigonometry. We comment on Euler's use of the methods of the calculus of variations in spherical trigonometry. We then survey a series of geometrical resuls, where the stress is on the analogy between the results in spherical geometry and the corresponding results in Euclidean geometry. We elaborate on two such results. The first one, known as Lexell's Theorem (Lexell was a student of Euler), concerns the locus of the vertices of a spherical triangle with a fixed area and a given base. This is the spherical counterpart of a result in Euclid's Elements, but it is much more difficult to prove than its Euclidean analogue. The second result, due to Euler, is the spherical analogue of a generalization of a theorem of Pappus (Proposition 117 of Book VII of the Collection) on the construction of a triangle inscribed in a circle whose sides are contained in three lines that pass through three given points. Both results have many ramifications, involving several mathematicians, and we mention some of these developments. We also comment on three papers of Euler on projections of the sphere on the Euclidean plane that are related with the art of drawing geographical maps.

연구 동기 및 목표

• 오일러와 그의 학술 圈이 기여한 구기하학 분야의 덜 알려져 있지만 수학적으로 풍부한 기여를 조사하고 해석하는 것.
• 내재적이고 미분기하학적 방법—특히 변분법과 극성 이론—이 구기하학 정리 증명에 어떻게 사용되었는지 강조하여 3차원 유클리드 공간에 대한 임베딩 의존도를 줄이는 것.
• 특히 삼각형의 위치와 원의 구성과 관련된 구기하학과 유클리드 기하학 간의 유사성에 주목하고 역사적·수학적 의미를 명확히 하는 것.
• 오일러의 후속자들, 특히 렉셀과 숙베르트의 기여를 재조명하여 구삼각함수와 지도 투영의 발전에 기여한 점을 부각하는 것.
• 현대 기하학자들이 원천 자료를 연구하고 오일러 유산에 뿌리를 두고 있는 구기하학의 깊이와 연속성을 인식하도록 유도하는 것.

제안 방법

• 오일러의 구삼각함수 논문, 특히 변분법을 활용해 삼각함수 항등식을 내재적으로 유도한 논문을 체계적으로 검토하고 비평하는 것.
• 3차원 유클리드 공간에 임베딩하지 않고도 증명할 수 있는, 극성 이론과 거리 성질을 포함한 구 위의 내재 미분기하학을 사용하는 것.
• 테오도시우스, 멜라우스, 톨레미의 저작을 재발견하고 재해석함으로써 역사적 발전을 분석하여 오일러와 그의 후속자들의 기여를 맥락화하는 것.
• 오일러의 구투영에 관한 세 편의 주요 논문을 검토하여 면적, 등각성, 자오선과 위도선 간 수직성을 유지하는 지도를 중심으로 하는 투영을 분석하는 것.
• 유클리드 기하학의 고전 정리와 그 구기하학적 해석을 비교함으로써 기하학적 이중성을 보여주는 것. 예를 들어 유클리드의 정리 37과 39, 파푸스의 정리 117.
• 렉셀, 숙베르트, 푸스의 삼각형의 위치, 원의 성질, 다각형 기하학에 관한 결과를 통합하여 내접원과 외접원의 반지름에 대한 공식을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오일러는 변분법을 어떻게 활용하여 삼각함수 항등식의 내재적 증명을 도출하였으며, 전통적인 유클리드 기반 유도 방식에 비해 어떤 이점이 있었는가?
• RQ2 렉셀의 정리는 구기하학에서 어떤 의미를 가지며, 삼각형의 면적과 밑변에 관한 유클리드의 정리 37과 39에 대한 비트리비얼한 구기하학적 해석으로서 어떻게 작용하는가?
• RQ3 오일러와 그의 후속자들은 파푸스의 정리(집합의 제7권, 정리 117)의 구기하학적 해석을 어떻게 발전시켰으며, 이는 사영기하학과 메트릭 기하학에 어떤 영향을 미쳤는가?
• RQ4 오일러와 그 협력자들은 어떻게 고체 기하학에 의존하지 않고도 구기하학 정리의 증명을 수행하였으며, 극성 이론과 내재적 방법을 어떻게 활용하였는가?
• RQ5 구기하학은 지도 제작의 발전에 어떤 역할을 하였으며, 오일러의 투영 연구는 특정 기하적 성질을 유지하는 지도 투영의 수학적 특성화에 어떻게 기여하였는가?

주요 결과

• 렉셀의 정리는 고정된 밑변과 고정된 면적을 가진 구삼각형의 꼭짓점의 위치를 소원으로 기술하며, 유클리드의 결과에 대한 비트리비얼한 구기하학적 해석이지만 증명이 훨씬 더 복잡하다.
• 오일러는 파푸스의 정리(집합 제7권, 정리 117)의 구기하학적 해석을 개발하여, 세 주어진 점을 통과하는 세 직선 위에 놓인 변을 가진 원에 내접하는 삼각형을 구성함으로써 고전 유클리드 기하학을 구기하학적 맥락으로 확장하였다.
• 오일러는 변분법을 사용하여 삼각함수 항등식을 내재적으로 도출함으로써 원점을 통과하는 유클리드 평면과의 교차에 의존하지 않아, 구삼각함수 기하학의 미분기하학적 기반을 구축하였다.
• 렉셀은 삼각형의 면적을 위한 헤론의 공식의 구기하학적 해석과 톨레미의 정리의 구기하학적 형태를 유도하여, 구 위에서의 거리관계의 풍부함을 보여주었다.
• 숙베르트는 렉셀과 푸스의 작업을 확장하여 다양한 기하적 조건 하에서 삼각형 꼭짓점의 위치를 결정하였고, 톨레미의 정리를 기반으로 삼각함수 기하학을 구성할 수 있음을 보여주어, 표준 삼각함수 체계 외의 기초적 대안을 강조하였다.
• 이 논문은 오일러와 그의 후속자들이 체계적으로 내재적 방법—특히 극성 이론—을 사용하여 3차원 유클리드 임베딩에 의존하지 않는 증명을 했음을 드러내며, 이는 현대 미분기하학과 뒤이어 발생하는 방법론적 진전을 앞서간다.