[논문 리뷰] On the Zarankiewicz problem for graphs with bounded VC-dimension

Oliver Janzer, Cosmin Pohoata|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 31.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 VC-차원이 최대 $d \geq 3$인 이분 그래프에 대해, $K_{k,k}$-free 그래프의 간선 수가 $o(n^{2-1/d})$임을 보여줌으로써 극단적 그래프 이론의 핵심적 간극을 메운다. 이는 이전에 알려진 $O(n^{2-1/d})$ bound를 향상시킨 결과이며, 이는 새로운 방식의 초그래프 제거 보조정리와 이중 세기 추론을 통해, 유계 VC-차원 환경에서 조밀한 구성 요소가 존재하지 않음을 규명함으로써 달성된다.

ABSTRACT

The problem of Zarankiewicz asks for the maximum number of edges in a bipartite graph on $n$ vertices which does not contain the complete bipartite graph $K_{k,k}$ as a subgraph. A classical theorem due to Kővári, Sós, and Turán says that this number of edges is $O\left(n^{2 - 1/k} ight)$. An important variant of this problem is the analogous question in bipartite graphs with VC-dimension at most $d$, where $d$ is a fixed integer such that $k \geq d \geq 2$. A remarkable result of Fox, Pach, Sheffer, Suk, and Zahl [J. Eur. Math. Soc. (JEMS), no. 19, 1785-1810] with multiple applications in incidence geometry shows that, under this additional hypothesis, the number of edges in a bipartite graph on $n$ vertices and with no copy of $K_{k,k}$ as a subgraph must be $O\left(n^{2 - 1/d} ight)$. This theorem is sharp when $k=d=2$, because by design any $K_{2,2}$-free graph automatically has VC-dimension at most $2$, and there are well-known examples of such graphs with $Ω\left(n^{3/2} ight)$ edges. However, it turns out this phenomenon no longer carries through for any larger $d$. We show the following improved result: the maximum number of edges in bipartite graphs with no copies of $K_{k,k}$ and VC-dimension at most $d$ is $o(n^{2-1/d})$, for every $k \geq d \geq 3$.

연구 동기 및 목표

• 유계 VC-차원 하에서 자란키에비츠 문제의 간극을 메우기, 특히 $d \geq 3$일 때 이전에 알려진 상한이 날카로운지 여부가 불확실한 경우에 중점적으로 다룸.
• Fox 등이 제시한 $O(n^{2-1/d})$ 상한이 $d \geq 3$일 때는 날카로운 것이 아니며, $d = 2$일 때만 날카로운 것으로 나타나야 함을 보여주기.
• VC-차원이 최대 $d \geq 3$인 $K_{k,k}$-free 이분 그래프는 $n^{2-1/d}$보다 훨씬 적은 간선을 가져야 한다는 것을 입증하기.
• VC-차원의 맥락에서 $O(n^{2-1/d})$ 상한의 날카로움을 조사하고, 더 강력한 다항식적으로 더 작은 지수를 위한 추측을 제시하기.

제안 방법

• 유계 VC-차원과 공통 이웃을 가진 정점의 구성 요소를 분석하기 위해 초그래프 제거 보조정리를 적용하기.
• 조밀한 하위구조를 지지할 수 있는 이웃 내의 $q$-집합의 수를 제한하기 위해 이중 세기 추론을 사용하기.
• 공통 이웃의 수와 서로소 이웃 집합의 수를 분석하여, 너무 많은 이러한 구성 요소가 존재할 경우 모순을 유도하기.
• 금지된 하위구조에 대한 비율 $\frac{v(H)-2}{e(H)-1}$ 기반의 확률적 삭제 추론을 활용해 하한을 유도하기.
• 특정 금지된 그래프 $F$의 구조를 이용해, 구성에서 유계 VC-차원을 강제하기.
• 표준적인 확대 및 무작위 분할 기법을 적용하여 원하는 희박성과 VC-차원 특성을 가진 이분 그래프를 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 VC-차원이 최대 $d$인 $K_{k,k}$-free 이분 그래프에 대해 $O(n^{2-1/d})$ 상한이 $d \geq 3$일 때 날카로운가?
• RQ2 동일한 VC-차원 제약 조건 하에서 상한의 지수를 $n^{2-1/d}$를 초월해 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 VC-차원이 최대 $d \geq 3$인 $K_{k,k}$-free 이분 그래프에 대해 간선 수 상한의 최적 지수는 무엇인가?
• RQ4 초그래프 제거 보조정리를 사용하여, 유계 VC-차원 초그래프에 대해 상당히 더 좋은 정량적 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ5 VC-차원 제약 조건이 $k > d \geq 3$일 때 극단적 간선 밀도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 $k \geq d \geq 3$에 대해, VC-차원이 최대 $d$인 $K_{k,k}$-free 이분 그래프의 최대 간선 수는 $o(n^{2-1/d})$이며, 이는 이전의 $O(n^{2-1/d})$ 상한을 향상시킨 결과이다.
• 이 결과는 날카로운 것으로 간주되며, $O(n^{2-1/d})$ 상한은 $d = 2$일 때만 날카로운 반면, $d \geq 3$일 땐 날카로운 것이 아님을 보여준다.
• 공통 이웃을 가진 $q$-집합의 과다 세기에서 유도된 모순을 통해, 너무 많은 이러한 집합이 존재할 경우 VC-차원 제약 조건을 위반함을 보여준다.
• 확률적 방법을 통한 하한 구성은 $k \geq 2d-5$일 때 $\Omega(n^{2-1/(d-2-C/d)})$ 간선을 제공하며, 이는 일반적으로 상한의 지수를 $2-1/(d-2)$ 이하로 향상시킬 수 없음을 시사한다.
• 저자들은 진정한 상한이 어떤 $\epsilon > 0$에 대해 $O(n^{2-1/d-\epsilon})$일 것이라 추측하며, 현재 상한과 하한 사이에 상당한 격차가 있음을 시사한다.
• 이 결과는 VC-차원 제약 조건이 이차 밀도를 강제하지는 않지만, $d \geq 3$일 경우 고전적 Kővári–Sós–Turán 상한보다 비트리비알한 향상 효과를 유도한다는 것을 암시한다.