[논문 리뷰] On The Zariski Topology Of Automorphism Groups Of Affine Spaces And Algebras

Alexei Kanel-Belov, Jie-Tai Yu외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 09.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 인드 스킴, 토릭 다양체, 근사 기법을 사용하여 다항식 대수 및 자유 결합 대수의 자리스키 위상과 자기동형군을 조사한다. n ≥ 3일 때 Aut(K[x₁,…,xₙ])의 모든 인드 스킴 자기동형군은 내부 자기동형군이며, Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩)의 모든 이러한 자기동형군은 준내부(self-inner)임을 증명한다. 또한 자연스러운 아벨화를 통한 자기동형군 상승 문제는 부정적인 해를 갖는다.

ABSTRACT

We study the Zariski topology of the ind-groups of polynomial and free associative algebras $\Aut(K[x_1,...,x_n])$ (which is equivalent to the automorphism group of the affine space $\Aut(K^n))$) and $\Aut(K< x_1,..., x_n>$ via $\Ind$-schemes, toric varieties, approximations and singularities. We obtain some nice properties of $\Aut(\Aut(A))$, where $A$ is polynomial or free associative algebra over a field $K$. We prove that all $\Ind$-scheme automorphisms of $\Aut(K[x_1,...,x_n])$ are inner for $n\ge 3$, and all $\Ind$-scheme automorphisms of $\Aut(K< x_1,..., x_n>)$ are semi-inner. We also establish that any effective action of torus $T^n$ on $\Aut(K< x_1,..., x_n>)$ is linearizable provided $K$ is infinity. That is, it is conjugated to a standard one. As an application, we prove that $\Aut(K[x_1,...,x_n])$ cannot be embedded into $\Aut(K< x_1,...,x_n>)$ induced by the natural abelianization. In other words, the {\it Automorphism Group Lifting Problem} has a negative solution. We explore the close connection between the above results and the Jacobian conjecture, and Kontsevich-Belov conjecture, and formulate the Jacobian conjecture for fields of any characteristic.

연구 동기 및 목표

• 필드 K 위에서 다항식 대수 및 자유 결합 대수의 자기동형군의 위상적 및 대수적 구조를 인드 스킴 및 토릭 다양체를 사용하여 분석한다.
• 자기동형군 상승 문제를 조사한다: 자연스러운 아벨화를 통한 Aut(K[x₁,…,xₙ])가 Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩)에 임베딩될 수 있는가?
• 특히 n ≥ 3일 때, 희미한 자기동형군의 인드 스킴 자기동형군의 구조를 규명한다.
• 자기동형군의 근사 성질과 잭비안 추측, 캐널-벨로프–콘체비치 추측 사이의 연결 고리를 탐색한다.
• 토루스 작용의 선형화 가능성과 희미한 설정에서의 자기동형군의 성격을 규명한다.

제안 방법

• 다항식 및 자유 결합 대수의 자기동형군을 연구하기 위해 인드 스킴 및 인드 군 프레임워크를 사용한다.
• 자기동형군의 구조를 이해하기 위해 근사 기법과 특이점 분석을 적용한다.
• 원점을 보존하는 희미한 군의 자기동형군을 분석하기 위해 보드나르쿨, 크라프트, 립스의 결과를 활용한다.
• 토릭 다양체와 군 작용을 이용하여 K가 무한할 경우 Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩)에서 Tⁿ 작용의 선형화를 증명한다.
• 직접 계산과 코너지션 논증을 통해 자기동형군에 의한 단항식 이미지 분석을 수행한다.
• 희미한 자기동형군과 생성자들의 구조를 활용하여 자기동형군이 내부 또는 준내부임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 n ≥ 3일 때, Aut(K[x₁,…,xₙ])의 모든 인드 스킴 자기동형군은 내부인가?
• RQ2 Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩)의 모든 인드 스킴 자기동형군은 준내부인가?
• RQ3 자기동형군 상승 문제는 자연스러운 아벨화를 통해 해결 가능한가?
• RQ4 K가 무한할 경우, Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩)에서의 효과적인 Tⁿ 작용은 선형화 가능한가?
• RQ5 Aut(K⟨x,y,z⟩)의 모든 군론적 자기동형군은 준내부인가?

주요 결과

• n ≥ 3일 때, Aut(K[x₁,…,xₙ])의 모든 인드 스킴 자기동형군은 내부이다.
• Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩)의 모든 인드 스킴 자기동형군은 준내부이다.
• K가 무한할 경우, Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩)에서의 임의의 효과적인 Tⁿ 작용은 선형화 가능하다.
• 자기동형군 상승 문제의 해는 부정적이다: 자연스러운 아벨화를 통한 Aut(K[x₁,…,xₙ])의 Aut(K⟨x₁,…,xₙ⟩)에의 임베딩은 불가능하다.
• 희미한 자기동형군 TAut(K⟨x,y,z⟩)의 자기동형군은 코너지션과 미러 반자기동형군으로 생성된다.
• 결과는 임의의 특성수에서 잭비안 추측을 지지하며, 캐널-벨로프–콘체비치 추측과 일치한다.