[논문 리뷰] On the zeros of Dirichlet $L$-functions

Sami Omar, Raouf Ouni외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 13.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 산술 공식을 사용하여 Dirichlet L-함수의 Li 계수의 양수성을 계산하고 검증하며, 부분 리만 가설에 대한 기준을 제시하고, 새로운 적분 및 합공식을 통해 수치적 증거를 제공한다. 주요 기여는 Li 계수가 양수이고 증가함을 강력하게 뒷받침하는 수치적 근거이며, 이것이 참이면 리만 가설이 성립함을 의미한다.

ABSTRACT

In this paper, we compute and verify the positivity of the Li coefficients for the Dirichlet $L$-functions using an arithmetic formula established in Omar and Mazhouda, J. Number Theory 125 (2007) no.1, 50-58; J. Number Theory 130 (2010) no.4, 1109-1114. Furthermore, we formulate a criterion for the partial Riemann hypothesis and we provide some numerical evidence for it using new formulas for the Li coefficients.

연구 동기 및 목표

• 기존의 산술 공식을 사용하여 Dirichlet L-함수의 Li 계수의 양수성을 계산하고 검증한다.
• Li 계수의 행동에 기반하여 부분 리만 가설에 대한 기준을 수립한다.
• Li 계수의 효율적인 수치 계산을 향상시키기 위해 새로운 적분 및 합공식을 유도한다.
• Li 계수가 양수이고 증가함을 보여주는 수치적 증거를 제공한다.
• 리만 가설을 가정한 계산과 조건부가 아닌 계산을 서로 다른 공식을 사용하여 비교한다.

제안 방법

• 논문 [10, 11]에서 유도된 산술 공식을 사용하여 Li 계수를 계산하며, 이는 von Mangoldt 함수, 가우스 합, Hurwitz 제타 함수로 표현된다.
• 라거르의 다항식과 소수 및 소수 거듭제곱에 대한 합의 경계를 사용하여 급수 꼬리의 오차 추정치를 적용한다.
• 체비셰프 다항식과 고유값을 포함하는 합공식을 사용하여 리만 가설 하에서 계수를 더 효율적으로 계산한다.
• 리만 가설 하에 조건부로, 그리고 조건부가 아닌 방식으로 n ≤ 40에 대해 λχ(n)의 수치 계산을 수행한다.
• 리만 가설 하에서의 효율적 계산을 위해 공식 λχ(n, N) = 2∑_{k=1}^N α_k (1 − T_{n−1}( (4γ_k²−1)/(4γ_k²+1) )) 를 사용한다.
• 모든 계산에서 정밀도가 10−ν 이내가 되도록 오차항 |EM|을 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Dirichlet L-함수의 Li 계수 λχ(n)는 모든 n ≥ 1에 대해 양수인가?
• RQ2 Li 계수의 행동에 기반하여 부분 리만 가설에 대한 기준을 수립할 수 있는가?
• RQ3 Li 계수는 단조증가하는가? 그리고 이것이 리만 가설에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 새로운 적분 및 합공식을 사용하여 λχ(n)의 효율적인 수치 계산은 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ5 Li 계수의 산술 공식에서 오차 추정치의 정확도와 수렴 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 산술 공식을 사용하여 n ≤ 40에 대해 조건부가 아닌 방식으로 Li 계수 λχ(n)를 계산하였으며, 결과는 양수성과 증가 추세를 보였다.
• 리만 가설 하에서, 합공식을 사용하면 산술 공식보다 훨씬 빠른 계산이 가능했으며, 산술 공식은 50개 계수를 계산하는 데 일주일이 넘게 소요되었다.
• χ(mod3), χ(mod5), χ(mod20), χ(mod60)에 대한 수치 결과는 n ≤ 40일 때 λχ(n)가 양수이고 증가함을 보였다.
• 오차 추정치 |EM| ≤ √n log M + 2/√M 는 적절한 M 선택으로 인해 모든 계산에서 정밀도가 10−ν 이내가 되도록 보장한다.
• 저자들은 λχ(n)가 양수이고 n에 대해 증가함을 추측하며, 이것이 참이면 리만 가설이 성립함을 의미한다.
• 수치적 증거는 Li 계수가 증가함을 지지하며, 모든 테스트된 특성과 n ≤ 40 범위에서 λχ(n) 값이 일관되게 증가함을 보였다.