[논문 리뷰] On the zeros of the second derivative of the Riemann zeta function under the Riemann hypothesis

Ade Irma Suriajaya|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 27.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 리만 가설(RH) 하에서 아카츠카(Akatsuka)의 2012년 리만 제타 함수의 첫 번째 도함수에 대한 결과를 두 번째 도함수로 확장한다. 정밀한 복소해석 기법과 이전 연구의 핵심 보조정리들을 수정하여, ζ''(s)의 비자명한 영점의 실부 합과 높이 T 이하의 영점 수에 대한 더 날카운 점근 공식을 도출한다. 오차 항은 각각 O((log log T)²) 및 O(log T/(log log T)^{1/2})로 개선된다.

ABSTRACT

The number of zeros and the distribution of the real part of non-real zeros of the derivatives of the Riemann zeta function have been investigated by Berndt, Levinson, Montgomery, and Akatsuka. Berndt, Levinson, and Montgomery investigated the general case, meanwhile Akatsuka gave sharper estimates for the first derivative of the Riemann zeta function under the truth of the Riemann hypothesis. In this paper, we extend the results of Akatsuka to the second derivative of the Riemann zeta function.

연구 동기 및 목표

• 리만 가설(RH) 하에서 리만 제타 함수의 첫 번째 도함수에 대한 아카츠카의 2012년 결과를 두 번째 도함수로 확장한다.
• 비자명한 영점의 실부 합에 대한 더 날카운 점근 공식을 도출한다. 이는 ζ''(s)의 임계대역 내에서의 비실수 영점에 대해 성립한다.
• ζ''(s)의 비자명한 영점 수를 세는 함수 N₂(T)의 오차 항을 개선한다. 여기서 T 이하의 이미너리 부분이 ≤ T인 영점의 수를 의미한다.
• 아카츠카의 연구에서 핵심이 되는 보조정리들, 특히 로그 도함수와 분석적 추정에 관한 것들을 두 번째 도함수의 경우에 적응 및 수정한다.
• 리만 가설 하에서 영점 분포 및 세는 공식의 오차 항이 최적의 순서임을 입증한다.

제안 방법

• 아카츠카(2012)의 ζ′(s)에 대한 증명 방법을 ζ′′(s)로 적응시키며, 복소적분 표현과 분석적 변동 기법에 중점을 둔다.
• 아카츠카의 연구에서 제2.1조를 수정하여, ζ′′(s)의 더 복잡한 함수방정식과 로그 도함수의 구조를 다룰 수 있도록 한다.
• 임계대역 내에서 ζ′′/ζ(s)의 분석적 성질과 주요 영역에서의 주의 유계성에 기반해, 로그 도함수의 주의를 추정한다.
• 카우치의 적분 정리와 경로 적분을 사용하여 경계 적분과 주의 점프로 인한 오차 항을 제어한다.
• 평균값 정리와 극한 과정(δ → 0)을 적용하여 진동하는 적분으로부터 주항과 상수 보정 항을 추출한다.
• 기존 문헌에서 알려진 추정치를 활용하여 arg(G₂(1/2 + iT)) 및 arg(ζ(1/2 + iT))의 추정치를 통해 오차 한계를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아카츠카의 리만 제타 함수의 첫 번째 도함수에 대한 개선된 오차 항이 리만 가설(RH) 하에서 두 번째 도함수로 확장될 수 있는가?
• RQ2 임계대역 내에서 ζ′′(s)의 비자명한 영점의 실부 합의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ3 0 < Im(s) ≤ T인 ζ′′(s)의 비자명한 영점 수를 세는 함수 N₂(T)에 대한 최적의 오차 항은 무엇인가?
• RQ4 특히 ζ′′/ζ(s)의 행동이 임계대역 내에서 ζ′/ζ(s)와 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ5 주어진 분석적 변동 기법이 고차 도함수의 경우에 대해 오차 항을 제어하는 데 적응 가능한가?

주요 결과

• 리만 가설(RH) 하에서, 0 < γ'' ≤ T인 비자명한 영점 ρ'' = β'' + iγ''에 대해 ζ''(s)의 (β'' − 1/2) 합은 점근적으로 (2T/2π)log log(T/2π) + (1/(2π))(1/2 log 2 − 2 log log 2)T − 2 Li(T/2π) + O((log log T)²)와 같다.
• 짧은 간격 (T, T+U]에 대해, T < γ'' ≤ T+U인 영점에 대해 (β'' − 1/2)의 합은 점근적으로 (2U/2π)log log(T/2π) + (1/(2π))(1/2 log 2 − 2 log log 2)U + O(U²/(T log T)) + O((log log T)²)와 같다.
• 리만 가설 하에서 ζ''(s)의 비자명한 영점 수를 세는 함수 N₂(T)는 N₂(T) = (T/2π)log(T/4π) − T/2π + O(log T / (log log T)^{1/2})를 만족한다.
• 세는 공식의 오차 항은 O(log T / (log log T)^{1/2})로 개선되었으며, 이는 리만 가설 하에서 첫 번째 도함수의 경우에 알려진 최고 수준의 오차 bound와 일치한다.
• G₂(1/2 + iT)의 주의, 여기서 G₂는 ζ′′(s)와 관련된 특정 보조함수인 경우, O_a(log T / (log log T)^{1/2})로 유계이며, 이는 오차 항 제어에 기여한다.
• ζ(1/2 + iT)의 주의는 O(log T / log log T)로 유계이며, 이는 기존에 알려진 결과로서 전체 오차 추정에 기여한다.