[논문 리뷰] On the zeta function on the line Re(s) = 1

Johan Andersson|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 18.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 리만 제타 함수 및 관련 $L$-함수의 $L^1$ 및 $L^\infty$-노름에 대해 $a$-선에서 날카러운 하한과 상한을 확립하며, $a$ → 0^+ 일 때 $a}^{T+d} |ζ(1+it)|\,dt \asymp d^2$ 라는 결과를 도출한다. 이는 제타 함수가 이 선에서 유니버설리티를 갖지 못함을 보이며, 사토-타테 및 잠재적 자동형 이론을 활용해 헤케 $L$-함수와 헬름홀트 모듈라 형식의 경우로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We show the estimates \inf_T \int_T^{T+δ} |ζ(1+it)|^{-1} dt =e^{-γ}/4 δ^2+ O(δ^4) and \inf_T \int_T^{T+δ} |ζ(1+it)| dt =e^{-γ} π^2/24 δ^2+ O(δ^4) as well as corresponding results for sup-norm, L^p-norm and other zeta-functions such as the Dirichlet L-functions and certain Rankin-Selberg L-functions. This improves on previous work of Balasubramanian and Ramachandra for small values of δand we remark that it implies that the zeta-function is not universal on the line Re(s)=1. We also use recent results of Holowinsky (for Maass wave forms) and Taylor et al. (Sato-Tate for holomorphic cusp forms) to prove lower bounds for the corresponding integral with the Riemann zeta-function replaced with Hecke L-functions and with δ^2 replaced by δ^{11/12+ε} and δ^{8/(3 π)+ε} respectively.

연구 동기 및 목표

• 길이 $\delta$ 인 간격에서 $|\zeta(1+it)|$ 및 $|\zeta(1+it)|^{-1}$ 의 짧은 적분에 대한 정밀한 점근적 추정치를 확립하기 위해.
• 리만 제타 함수가 $a$-선에서 $L^1$-노름 또는 $L^2$-노름에서 유니버설리티를 갖는지 여부를 해결하기 위해.
• 최근의 사토-타테 및 자동형 이론 결과를 활용해 딜리클레 $L$-함수, 랭킨-셀버그 $L$-함수, 모듈라 형식의 헤케 $L$-함수로 분석을 확장하기 위해.
• 스펙트럴 이론과 푸리에 계수의 분포적 성질을 활용하여 $a$-선에서 $L$-함수의 $L^p$-노름에 대한 향상된 하한을 도출하기 위해.

제안 방법

• 짧은 평균값에 대한 $|\zeta(1+it)|$ 와 $|\zeta(1+it)|^{-1}$ 의 하한을 도출하기 위해 모리피어 방법을 사용한다.
• 곱셈적 계수를 가진 딜리클레 급수에 대해 젠슨 부등식과 로그적 $L^1$-노름 추정치를 적용한다.
• 불확실한 하한을 확보하기 위해 발라수브라마니안-라마찬드라 방법을 활용한다.
• 최근의 정규화된 헬름홀트 쌍곡형 형식 및 힐베르트 모듈라 형식에 대한 사토-타테 분포 결과를 활용해 $L^p$-노름 추정치를 유도한다.
• 함수방정식과 스타링거의 공식을 사용해 $\zeta(1+it)$ 의 진폭과 크기를 분석하며, 이로 인해 유니버설리티가 불가능한 강성 구조를 보인다.
• 오일러乘수를 가진 일반 딜리클레 급수 이론을 적용해 산술 기원의 $L$-함수로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 $\delta$ 인 간격에서 $|\zeta(1+it)|$ 의 $L^1$-노름의 하한 $a}_T \int_T^{T+\delta} |\zeta(1+it)|\,dt$ 가 $\delta \to 0^+$ 일 때의 정밀한 점근적 행동은 무엇인가요?
• RQ2 리만 제타 함수는 $a$-선에서 $L^1$-노름 또는 $L^2$-노름에서 유니버설리티를 갖는가요?
• RQ3 사토-타테 등분포를 활용해 $a$-선에서 $L$-함수의 $L^p$-노름에 대해 날카러운 하한을 확립할 수 있는가요?
• RQ4 헤케 $L$-함수의 경우, $a}^{T+\delta} |L(1+it)|\,dt \gg \delta^\alpha$ 를 만족하는 최적의 지수 $\alpha$ 는 무엇인가요?
• RQ5 아키야마-타니가와 추측과 같은 더 강한 추측 하에, $L^p$-노름 추정치에서 $\epsilon$-손실을 제거할 수 있는가요?

주요 결과

• $\delta \to 0^+$ 일 때, 길이 $\delta$ 인 간격에서 $|\zeta(1+it)|$ 의 $L^1$-노름의 하한은 $\inf_T \int_T^{T+\delta} |\zeta(1+it)|\,dt = \frac{\pi^2 e^{-\gamma}}{24} \delta^2 + O(\delta^4)$ 를 만족한다.
• $\delta \to 0^+$ 일 때, $|\zeta(1+it)|^{-1}$ 의 $L^1$-노름의 하한은 $\inf_T \int_T^{T+\delta} |\zeta(1+it)|^{-1}\,dt = \frac{e^{-\gamma}}{4} \delta^2 + O(\delta^4)$ 를 만족한다.
• 하드리 $Z$-함수의 강성과 함수방정식으로 인해, 리만 제타 함수는 $a$-선에서 $L^1$-노름 조차도 유니버설리티를 갖지 못한다.
• 중량 $\geq 2$ 인 헬름홀트 쌍곡형 형식의 헤케 $L$-함수에 대해, $L^1$-노름은 $\int_T^{T+\delta} |H(1+it)|\,dt \gg \delta^{1+8/(3\pi)+\epsilon}$ 를 만족하며, 이때 $8/(3\pi) \approx 0.8488$ 이다.
• 헬름홀트 쌍곡형 형식에 대해, $L^p$-노름은 사토-타테 추측 하에 $\inf_T \int_T^{T+\delta} |H(1+it)|^p\,dt \asymp \delta^{1 + 8/(3\pi) \cdot p}$ 를 만족한다.
• 논문은 아키야마-타니가와 추측 하에 지수의 $\epsilon$-손실을 제거할 수 있으며, 이 경우 $\sum_{p\leq N} \frac{|a_p|}{p} = \frac{8}{3\pi} \log\log N + B + O((\log\log N)^{-2})$ 를 유도할 수 있다고 추측한다.