[논문 리뷰] On thickness and thinness of Banach spaces

Trond A. Abrahamsen, Johann Langemets외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 05.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간에서 윌리지의 두께 및 밀도 지수를 조사하며, 모든 무한차원 바나흐 공간 중 $c_0$의 사본을 포함하는 경우, $c_0$가 M-이디얼이 되고 두 지수 모두 1이 되도록 재노름화할 수 있음을 입증한다. 또한 두께 및 밀도 지수가 $\ell_p$-합에서 어떻게 다르게 작용하는지 보이며, 두께 지수는 $[1,2]$의 모든 값이 달성 가능함을 보인다. 이때 밀도 지수는 여전히 1을 유지한다.

ABSTRACT

The aim of this note is to complement and extend some recent results on Whitley's indices of thinness and thickness in three main directions. Firstly, we investigate both the indices when forming $\ell_p$-sums of Banach spaces, and obtain formulas which show that they behave rather differently. Secondly, we consider the relation of the indices of the space and a subspace. Finally, every Banach space $X$ containing a copy of $c_0$ can be equivalently renormed so that in the new norm $c_0$ is an M-ideal in $X$ and both the thickness and thinness index of $X$ equal 1.

연구 동기 및 목표

• 최근 바나흐 공간에서 윌리지의 두께 및 밀도 지수에 관한 결과를 확장하고 보완하는 것.
• $\ell_p$-합에 의한 바나흐 공간에서 두께 및 밀도 지수가 어떻게 작용하는지 분석하는 것.
• 바나흐 공간의 지수와 그 부분공간의 지수 사이의 관계를 조사하는 것.
• 모든 $c_0$의 사본을 포함하는 바나흐 공간이 $c_0$가 M-이디얼이 되고 두 지수 모두 1이 되는 동치 노름을 갖는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• $c_0$를 포함하는 바나흐 공간 $X$에 대해 새로운 노름을 구성하기 위해 네트 수렴과 티코노프 정리를 사용하는 것.
• $c_0$-부분공간 $Y$ 위로의 사영 $P_Y$ 의 네트를 구성하여 한계 노름 $|||\cdot|||$ 를 정의하는 것.
• 한계 노름이 $\frac{1}{2}\|x\| \leq |||x||| \leq 3\|x\|$ 를 만족함을 증명하여 $c_0$의 등장각 임bedding 유지하는 것.
• 최근 결과 [2]를 통해 거의 제곱 노름임을 보여주어 $t(X) = 1$ 이 됨을 입증하는 것.
• 밀도 수열과 근사화를 사용하여 노름이 M-이디얼 성질을 만족함을 보여 $c_0$가 새로운 노름에서 M-이디얼임을 입증하는 것.
• 단위 구가 $e_1$ 및 $-e_1$ 중심을 기준으로 반지름 1인 닫힌 공들의 합집합에 의해 덮임을 보여 $T(X) = 1$ 이 됨을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특히 공간이 $c_0$를 포함할 경우, 두께 및 밀도 지수를 독립적으로 제어할 수 있는가?
• RQ2 바나흐 공간의 $\ell_p$-합에서 두께 및 밀도 지수는 어떻게 작용하는가?
• RQ3 바나흐 공간의 지수와 그 부분공간의 지수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 $c_0$를 포함하는 바나흐 공간을 재노름화하여 $c_0$가 M-이디얼이 되고 두 지수 모두 1이 되도록 할 수 있는가?
• RQ5 $[1,2]$의 모든 값이 두께 지수로 달성 가능할 수 있으며, 이때 밀도 지수는 여전히 1을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• $\alpha \in [1,2]$ 에 대해, $T(X) = \alpha$ 이고 $t(X) = 1$ 인 바나흐 공간 $X$ 가 존재함을 보여, 밀도 공간이 임의의 두께를 가질 수 있음을 입증한다.
• $\ell_p$-합 바나흐 공간은 두께 및 밀도 지수에서 서로 다른 행동을 보이며, $T(\ell_p[X_i])$ 와 $t(\ell_p[X_i])$ 에 대해 명시적인 공식이 유도됨을 보인다.
• 모든 무한차원 바나흐 공간 $X$ 중 $c_0$의 사본을 포함하는 경우, $c_0$가 M-이디얼이 되고 $T(X) = 1$, $t(X) = 1$ 이 되는 동치 노름이 존재함을 입증한다.
• 사영의 네트 수렴을 통한 새로운 노름은 $c_0$가 M-이디얼이 되고, 단위 구가 $\pm e_1$ 중심을 기준으로 반지름 1인 두 개의 공에 의해 덮임을 보여 $T(X) = 1$ 이 됨을 증명한다.
• 이러한 재노름화 하에서 $t(X) = 1$ 이 됨을 확인하였으며, 이는 공간이 거의 제곱 노름을 갖기 때문이다.
• 논문은 $T(X) = 2$ 이 되는 것은 $X$ 가 옥타드랄일 때이고, $t(X) = 1$ 이 되는 것은 $X$ 가 거의 제곱일 때임을 입증하며, 지수와 기하적 성질 간의 연결 고리를 설정한다.