[논문 리뷰] On Three Different Notions of Monotone Subsequences

Miklós Bóna|ArXiv.org|2007. 11. 27.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 순열 내에서 단조수열의 세 가지 서로 다른 개념—표준 패턴 회피, 타이트한 포함, 매우 타이트한 포함—을 비교하며, 수량적 공식, 점근적 분포를 제공하고, 랜덤 순열에서 매우 타이트한 12-패턴의 수가 파oisson(1) 분포로 수렴함을 증명한다. 또한 대부분의 길이 k 패턴에 대해 매우 타이트한 복제 수가 단조패턴 αₖ의 것보다 위로 유계임을 확립한다.

ABSTRACT

We review how the monotone pattern compares to other patterns in terms of enumerative results on pattern avoiding permutations. We consider three natural definitions of pattern avoidance, give an overview of classic and recent formulas, and provide some new results related to limiting distributions.

연구 동기 및 목표

• 순열 내 단조수열에 대한 세 가지 서로 다른 정의—표준 패턴 회피, 타이트한 포함, 매우 타이트한 포함—을 비교한다.
• 특히 길이 3, 4, 및 k인 패턴에 대해 이러한 단조패턴의 회피 조건에서의 수량적 행동을 분석한다.
• 특히 12-패턴에 대해 매우 타이트한 복제 수의 극한 분포를 조사하고, 표준 및 타이트한 복제 수와 비교한다.
• 거의 모든 길이 k 패턴에 대해 매우 타이트한 복제 수가 단조패턴 αₖ = 12⋯k의 것보다 위로 유계임을 증명한다.
• 특히 대칭함수와 모멘트 방법의 맥락에서, 패턴 회피 및 분포 극한에 관한 기존 결과를 확장한다.

제안 방법

• 표준 패턴 회피 정의를 사용한다: 순열 p가 패턴 q를 포함한다는 것은 p의 원소들 중 q와 같은 상대적 순서를 가지는 부분수열이 존재한다는 것을 의미한다.
• Simion-Schmidt의 이분사법을 적용하여 Sₙ(132) = Cₙ, 즉 n번째 카탈란 수임을 증명하고, 이를 통해 모든 길이 3 패턴 q에 대해 Sₙ(q) = Cₙ임을 확장한다.
• 생성함수와 대칭함수, 특히 Ira Gessel의 공식을 사용하여 Sₙ(1234)에 대한 정확한 수량적 결과를 도출한다.
• 모멘트 방법을 적용하여 수렴 분포를 증명한다: 매우 타이트한 12-패턴 수의 j번째 모멘트가 파oisson(1) 분포의 j번째 모멘트로 수렴함을 보인다.
• pᵢ + 1 = pᵢ₊₁인 사건을 나타내는 지표 랜덤 변수 Zₙ,ᵢ를 사용하고, E(Zₙʲ)를 계산하여 극한 분포를 분석한다.
• 매우 타이트한 패턴 q의 복제 수 Vₙ(q)에 대한 상한을 도출하기 위해, 단조패턴 αₖ의 매우 타이트한 복제 수 확률 P(n,i,αₖ)와 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준, 타이트, 매우 타이트라는 세 단조수열 개념은 수량적 및 분포 행동 측면에서 어떻게 다를까?
• RQ2 n ≥ 6일 때 Sₙ(1342)가 Sₙ(1234)와 Sₙ(1324)와 다를 수밖에 없는 이유는 무엇인가? 이는 모두 길이 4 패턴이기 때문이다.
• RQ3 고정된 패턴에 대해 매우 타이트한 복제 수의 극한 분포는 무엇이며, 특히 12-패턴에 대해선 어떠한가?
• RQ4 길이 k인 어떤 패턴 q에 대해 Vₙ(q) ≤ Vₙ(αₖ)가 성립하는가? 그리고 k가 증가함에 따라 이러한 패턴은 얼마나 흔한가?
• RQ5 매우 타이트한 12-패턴 수가 랜덤 순열에서 파oisson 분포로 수렴함을 증명하기 위해 모멘트 방법을 사용할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 길이 3 패턴 q에 대해, q를 피하는 n-순열의 수는 n번째 카탈란 수 Cₙ이며, 특정 패턴에 관계없이 동일하다.
• 길이 4 패턴에 대해선 Sₙ(1342), Sₙ(1234), Sₙ(1324)가 서로 다른 수열이며, n ≥ 6일 때 Sₙ(1342)는 Sₙ(1234)보다 크게 작다.
• 대칭함수를 사용하여 Sₙ(1234)에 대한 정확한 공식을 제시한다: Sₙ(1234) = (1/(n+1)²(n+2)) × Σₖ₌₀ⁿ (2k choose k)(n+1 choose k+1)(n+2 choose k+1).
• Sₙ(1342)에 대한 공식은 놀랍다: 교대합과 계승을 포함하며, 단순한 유리함수나 초함수 급수 형태가 아니다.
• 랜덤 n-순열에서 매우 타이트한 12-패턴의 수는 n → ∞일 때 파oisson(1) 분포로 수렴한다.
• 거의 모든 길이 k 패턴(즉, k → ∞의 극한에서)에 대해 매우 타이트한 복제 수는 단조패턴 αₖ = 12⋯k의 것보다 위로 유계이다.