[논문 리뷰] On time scales and quasi-stationary distributions for multitype birth-and-death processes

Jean-René Chazottes, Pierre Collet외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 17.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 관련 결정론적 미분방정식(deterministic ODE)에 유일한 내부 안정 고정점이 존재하는 다형태의 생식 및 사망 과정에 대해 유일한 준정적분포(quasi-stationary distribution, qsd)의 존재를 확립하며, 비멸망 조건 하에서 과정이 지수적으로 빠르게 qsd로 수렴함을 증명한다. 큰 $ K $에 대해 평균 멸종 시간은 $ K $에 대해 지수적으로 커지며, 조건부 과정과 qsd 사이의 총 변동 거리(total variation distance)는 $ t \gg \log K $일 때 시간에 대해 지수적으로 감소하여 준정적분포 영역을 정량화한다.

ABSTRACT

We consider a class of birth-and-death processes describing a population made of $d$ sub-populations of different types which interact with one another. The state space is $\mathbb{Z}_+^d$ (unbounded). We assume that the population goes almost surely to extinction, so that the unique stationary distribution is the Dirac measure at the origin. These processes are parametrized by a scaling parameter $K$ which can be thought as the order of magnitude of the total size of the population at time $0$. For any fixed finite time span, it is well-known that such processes, when renormalized by $K$, are close, in the limit $K o+\infty$, to the solutions of a certain differential equation in $\mathbb{R}_+^d$ whose vector field is determined by the birth and death rates. We consider the case where there is a unique attractive fixed point (off the boundary of the positive orthant) for the vector field (while the origin is repulsive). What is expected is that, for $K$ large, the process will stay in the vicinity of the fixed point for a very long time before being absorbed at the origin. To precisely describe this behavior, we prove the existence of a quasi-stationary distribution (qsd). In fact, we establish a bound for the total variation distance between the process conditioned to non-extinction before time $t$ and the qsd. This bound is exponentially small in $t$, for $t\gg \log K$. As a by-product, we obtain an estimate for the mean time to extinction in the qsd. We also quantify how close is the law of the process (not conditioned to non-extinction) either to the Dirac measure at the origin or to the qsd, for times much larger than $\log K$ and much smaller than the mean time to extinction, which is exponentially large as a function of $K$. Let us stress that we are interested in what happens for finite $K$. We obtain results much beyond what large deviation techniques could provide.

연구 동기 및 목표

• 유한한 인구수를 가진 다형태 생식-사망 과정의 장기적 행동을 기술하기 위해.
• 관련 결정론적 ODE에 유일한 내부 안정 고정점이 존재할 경우, 이러한 과정에 대해 유일한 준정적분포(quasi-stationary distribution, qsd)의 존재를 확립하기 위해.
• 비멸망 조건 하에서 과정이 qsd로 수렴하는 속도를 정량화하기 위해, 특히 큰 $ K $에 대해.
• qsd 하에서의 평균 멸종 시간을 추정하고, 흡수 이전 과정의 분포를 기술하기 위해.

제안 방법

• 상태공간 $ \mathbb{Z}^d_+ \setminus \{0\} $ 위에서 정의된 마코프 점프 과정의 클래스를 분석하며, 생식 및 사망 비율을 $ K $로 스케일링하여 $ K \to \infty $ 근처에서 결정론적 ODE를 도출한다.
• 고정점 $ \mathbf{x}^* $ 근처에서의 동역학을 제어하기 위해 리아푸노프 함수를 사용하여 안정성을 확보하고, qsd의 구성에 이르는 지침을 제공한다.
• '네 영역의 보조정리'를 적용하여 상태공간을 분해하고, 서로 다른 영역에서의 과정 행동을 제어한다: 고정점 근처, 원점 근처, 일시적 영역에서의 행동.
• 조건부 과정과 qsd 사이의 총 변동 거리에 대한 지수적 경계를 확립하여, $ t \gg \log K $일 때 $ \exp(-c t) $의 속도로 감소함을 보여준다.
• qsd 하에서의 평균 멸종 시간에 대한 상한 및 하한을 유도하여, $ K $에 대해 지수적으로 크다는 것을 보여준다.
• 이중성(duality)과 정밀균형(detailed balance)의 논리를 사용하여 불변측도의 존재를 분석하지만, 주요 접근법은 높은 차원에서 정밀균형이 제한적일 수 있으므로 이를 의존하지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관련 ODE에 유일한 내부 안정 고정점이 존재할 경우, 다형태 생식-사망 과정에 대해 준정적분포가 존재하는가?
• RQ2 비멸망 조건 하에서 과정이 준정적분포로 수렴하는 속도는 어떠한가?
• RQ3 큰 $ K $에 대해 평균 멸종 시간의 渐近적 행동은 어떠한가?
• RQ4 비멸망 조건이 부여된 과정이 $ \log K $보다 훨씬 큰 시간이지만 평균 멸종 시간보다 훨씬 작은 시간에 대해, 멸종 시점의 Dirac 측도나 qsd에 얼마나 가까운가?

주요 결과

• 관련 ODE에 유일한 내부 안정 고정점이 존재할 경우, 다형태 생식-사망 과정에 대해 유일한 준정적분포가 존재한다.
• 비멸망 조건 하에서 과정과 qsd 사이의 총 변동 거리는 시간 $ t $에 대해 지수적으로 감소하며, 특히 $ t \gg \log K $일 때 $ \exp(-c t) $의 속도로 감소한다.
• qsd 하에서의 평균 멸종 시간은 $ K $에 대해 지수적으로 크며, 이는 고정점 근처 생성자(generator)의 스펙트럼 갭(spectral gap)에 따라 달라진다.
• 시간 $ t \gg \log K $ 이며 $ t \ll \mathbb{E}[T_{\text{ext}}] $일 경우, 비조건부 과정의 분포는 qsd에 지수적으로 가까운 반면, $ t \gg \mathbb{E}[T_{\text{ext}}] $일 경우 원점에서의 Dirac 측도에 가까워진다.
• 결과는 $ K $에 대해 점점 더 정밀한 비점근적(비점근적) 추정을 제공하며, 대칭 이론이 달성할 수 있는 것보다 더 정밀한 정량적 추정을 가능하게 한다.
• 이 방법은 정밀균형에 의존하지 않아, 정밀균형이 실패할 수 있는 상호종간 경쟁이 존재하는 모델을 포함한 더 넓은 범주에 적용 가능하다.