[논문 리뷰] On Titchmarsh-Weyl functions of first-order symmetric systems with arbitrary deficiency indices

Sergio Albeverio, M. M. Malamud외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 03.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 26인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의(가능성 있는 비등가) 결함 지수를 가진 일계 대칭 시스템에 대한 종합적인 스펙트럼 이론을 구축한다. 분해 경계 삼중체를 사용하여, 티치마르시-위르의 계수에 대한 일반화된 $m$-함수를 도입하고, 네바린나 경계 조건을 통해 매개변수화하며, 모든 $m$-함수에 대해 크레인 유형의 공식을 수립한다. 이는 고전적 결과를 해밀토니안이 아니며, 결함 지수도 동일하지 않은 경우로 확장한다.

ABSTRACT

We study general (not necessarily Hamiltonian) first-order symmetric systems $J y'(t)-B(t)y(t)=\D(t) f(t)$ on an interval $[a,b> $ with the regular endpoint $a$. The deficiency indices $n_\pm$ of the corresponding minimal relation $\Tmi$ may be arbitrary (possibly unequal). Our approach is based on the concept of a decomposing boundary triplet, which enables one to parametrize various classes of extensions of $\Tmi$ (self-adjoint, $m$-dissipative, etc.) in terms of boundary conditions imposed on regular and singular values of a function $y\in \dom ma$ at the endpoints $a$ and $b$ respectively. In particular, we describe self-adjoint and $ł$-depending Nevanlinna boundary conditions which are analogs of separated ones for Hamiltonian systems. With a boundary value problem involving such conditions we associate the $m$-function $m(\cd)$, which is an analog of the Titchmarsh-Weyl coefficient for the Hamiltonian system. In the simplest case of minimal (unequal) deficiency indices $n_\pm$ the $m$-function $m(\cd)$ coincides with the rectangular Titchmarsh-Weyl coefficient introduced by Hinton and Schneider. We parametrize all $m$-functions in terms of the Nevanlinna boundary parameter at the endpoint $b$ by means of the formula similar to the known Krein formula for resolvents. Application of these results to differential operators of an odd order enables us to complete the results by Everitt and Krishna Kumar on the Titchmarsh-Weyl theory of such operators.

연구 동기 및 목표

• 기존 해밀토니안 케이스를 초월하여, 임의의 비등가 결함 지수 $n_+ \neq n_-$ 를 가진 일계 대칭 시스템으로 티치마르시-위르 이론을 확장하는 것.
• 정규 및 특이 값이 끝점에서 포함된 경계 조건을 통해 자기수반 및 $m$-소산적 확장을 매개변수화하는 것.
• 비해밀토니안 시스템을 위한 티치마르시-위르 계수의 일반화된 $m$-함수를 도입하고 특성화하는 것.
• 특이 끝점 $b$에서의 네바린나 경계 매개변수를 통해 모든 $m$-함수를 연결하는 크레인 유형의 공식을 수립하는 것.
• 에버릿과 크리슈나 쿠마르가 이전에 연구한 기존 결과의 격차를 메우기 위해 이 틀을 사용하여 기수 미분 연산자의 스펙트럼 이론을 완성하는 것.

제안 방법

• 최소 관계 $T_{\min}$ 의 확장을 정규 및 특이 끝점에서의 경계 조건으로 표현하기 위해 분해 경계 삼중체 개념을 사용한다.
• $m$-함수 $m_\tau(\lambda)$ 는 시스템의 해 $v_\tau(t,\lambda)$ 가 $v_\tau(t,\lambda) = Y_1(t,\lambda)m_\tau(\lambda) + Y_2(t,\lambda)$ 를 만족하고, $L^2$-적분 가능성 및 경계 조건을 만족하는 유일한 연산자 함수로 정의된다.
• 블록 행렬로 구성된 $H \oplus \widehat{H} \oplus H$ 에서의 $J$ 와 $\Delta \geq 0$, $B = B^*$ 인 시스템 $Jy' - By = \lambda\Delta y + \Delta f$ 에 이론을 적용한다.
• 해밀토니안 시스템의 분리 조건을 일반화한 네바린나 경계 조건을 도입하며, 특이 끝점 $b$ 에서의 경계 값 $[y, \chi_j]_b$ 를 사용한다.
• 특이 끝점 $b$ 에서의 경계 매개변수 $\tau \in \widetilde{R}_\alpha(\widetilde{\mathcal{H}}_b, \mathcal{H}_b)$ 를 통해 $m$-함수에 대한 크레인 유형의 공식을 유도하며, 이는 $n_+ \leq n_-$ 와 $n_+ < n_-$ 인 경우 모두 유효하다.
• 미분 표현식 $l[y]$ 과 관련된 $m$-함수 $m_\tau(\cdot)$ 로 결과를 재구성하여, $n_+ < n_-$ 인 경우 특정 삼각형 구조를 가진 네바린나 연산자 함수임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 비등가 결함 지수를 가진 일계 대칭 시스템으로 티치마르시-위르 이론을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 결함 지수 $n_+ \neq n_-$ 인 비해밀토니안 시스템에 대해 티치마르시-위르 계수의 적절한 일반화된 형태는 무엇인가?
• RQ3 끝점 $b$ 에서 특이 값이 포함된 경계 조건을 통해 자기수반 및 $m$-소산적 확장을 어떻게 매개변수화할 수 있는가?
• RQ4 임의의 결함 지수를 가진 시스템에서 $m$-함수에 대해 크레인 유형의 공식을 수립할 수 있는가?
• RQ5 이 틀은 이전에 에버릿과 크리슈나 쿠마르가 연구한 기수 미분 연산자의 스펙트럼 이론을 어떻게 완성하는가?

주요 결과

• $m$-함수 $m_\tau(\lambda)$ 는 네바린나 연산자 함수이며, $n_+ < n_-$ 인 경우 식 (5.20) 및 (5.21)과 같은 삼각형 연산자 형태를 가진다.
• 일반화된 $m$-함수는 결함 지수가 비등가인 최소 케이스에서 히ント니와 슈나이더가 도입한 직사각형 티치마르시-위르 계수와 일치한다.
• 모든 $m$-함수는 끝점 $b$ 에서의 네바린나 경계 매개변수 $\tau$ 를 통해 매개변수화되며, 크레인 전환 공식과 유사한 공식이 성립한다.
• 시스템의 해 $v_\tau(t,\lambda)$ 는 $m$-함수에 의해 유일하게 결정되며, $a$ 와 $b$ 에서의 $L^2$-적분 가능성 및 지정된 경계 조건을 만족한다.
• 이 틀은 특이 경계 값 $[y, \chi_j]_b$ 를 포함한 네바린나 경계 조건을 통해 자기수반 확장을 완전히 매개변수화할 수 있다.
• 결과적으로 이 틀은 에버릿과 크리슈나 쿠마르의 연구에서 열려 있던 문제를 해결하며, 기수 미분 연산자의 티치마르시-위르 이론을 완성한다.