[논문 리뷰] On Topological and Metrical Properties of Stabilizing Feedback Gains: the MIMO Case

Jingjing Bu, Afshin Mesbahi외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 04.

Control and Stability of Dynamical Systems참고 문헌 17인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 연속시간 및 이산시간 다중입력다중출력(MIMO) 선형시간불변(LTI) 시스템에서 안정화 피드백 이득의 위상수학적 및 거리적 성질을 조사한다. 안정화 상태피드백 이득의 집합은 열려 있고, 유계가 아니며, 수축 가능하다는 것을 보여주며, 출력피드백 이득은 열려 있지만 반드시 연결되어 있는 것은 아니다. 핵심적으로, 이는 구조적 안정화 이득이 지수적으로 많은 연결 성분을 갖는 이산시간 MIMO 시스템을 구성한다—이것은 연속시간에서 알려진 결과와 유사하며, 제어 합성에서 기울기 기반 학습 알고리즘의 근본적인 과제를 드러낸다.

ABSTRACT

In this paper, we discuss various topological and metrical aspects of the set of stabilizing static feedback gains for multiple-input-multiple-output (MIMO) linear-time-invariant (LTI) systems, in both continuous and discrete-time. Recently, connectivity properties of this set (for continuous time) have been reported in the literature, along with a discussion on how this connectivity is affected by restricting the feedback gain to linear subspaces. We show that analogous to the continuous-time case, one can construct instances where the set of stabilizing feedback gains for discrete time LTI systems has exponentially many connected components.

연구 동기 및 목표

• 연속시간 및 이산시간 MIMO LTI 시스템에서 안정화 피드백 이득 집합의 위상수학적 및 거리적 구조를 분석하는 것.
• 피드백 이득의 구조적 제약(예: 희소성, 선형 부분공간)이 안정화 집합의 연결성과 기하학적 성질에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 기존의 SISO 시스템 결과를 MIMO 시스템으로 확장하여, 특히 안정화 이득 집합의 연결 성분 수에 관해 연구하는 것.
• 상태피드백 및 출력피드백 하에서 안정화 이득 집합의 엄밀한 위상적 특성(열림, 수축 가능성, 유계성)을 제공하는 것.
• 이산시간 MIMO 시스템에서 구조적 안정화 이득 집합이 지수적으로 많은 연결 성분을 가질 수 있음을 보여주며, 이는 연속시간 현상과 유사하다.

제안 방법

• 닫힌루프 시스템이 허위츠(연속시간) 또는 쇼어(이산시간) 안정성을 갖도록 하는 피드백 이득 집합을 분석하기 위해 미분위상수학과 행렬 안정성 이론을 사용한다.
• 스펙트럴 반경에 대한 젤파운드의 공식을 적용하여 특정 구조적 제약 조건 하에서 이득 공간 내 볼록 경로를 따라 경로연결성을 증명한다.
• 각각 독립적인 2×2 부분시스템을 포함하는 $k$개의 블록 대각 MIMO 시스템을 구성함으로써 $2^k$개의 연결 성분을 갖는다.
• 예를 들어 $u_{12} = -a^2 u_{21}$와 같은 선형 제약 조건을 통한 구조적 피드백 이득의 매개변수화를 통해 쇼어 안정성을 위한 고유값 모듈러스 조건을 유도한다.
• 스펙트럴 반경 $\rho(A - BK) < 1$ 이득 공간에서 열린 집합을 정의하므로 안정화 집합의 열림을 보장한다.
• 블록 대각 시스템의 카르테시안 곱 구조를 활용하여 블록 간 연결 성분 수가 곱해져 $k$개의 블록에 대해 $2^k$개의 성분을 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속시간 및 이산시간 MIMO LTI 시스템에서 안정화 피드백 이득 집합의 위상수학적 성질(예: 연결성, 수축 가능성)은 어떻게 다를까?
• RQ2 이산시간 MIMO 시스템에서 구조적 피드백 제약 조건 하에 안정화 이득 집합이 연속시간 시스템과 마찬가지로 지수적으로 많은 연결 성분을 가질 수 있는가?
• RQ3 피드백 이득 행렬에 대한 선형 부분공간 제약 조건이 안정화 집합의 연결성과 기하학적 성질에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ4 시스템 행렬 $A$와 $B$의 구조가 안정화 이득 집합의 연결 성분 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 안정화 이득 집합의 비볼록성 및 비연결성으로 인해 제어 합성에 대한 기울기 기반 학습 알고리즘이 얼마나 제한을 받는가?

주요 결과

• 이산시간 MIMO LTI 시스템에서 안정화 상태피드백 이득 집합은 유클리드 위상에서 열려 있고, 무한하며, 수축 가능하다.
• 안정화 출력피드백 이득 집합은 열려 있지만 반드시 연결되어 있는 것은 아니며, 또한 유계 또는 무한일 수 있다.
• 선형 부분공간으로 정의된 구조적 피드백 이득의 경우, 안정화 집합의 연결 성분 수는 상태 수에 따라 지수적으로 증가할 수 있다.
• 특정 구성에서 $k$개의 2×2 블록 부분시스템을 사용하고 각각의 $|a_j| > 2$ 조건을 만족하면 이산시간 MIMO 시스템에서 안정화 이득 집합에 정확히 $2^k$개의 연결 성분이 존재한다.
• 이 결과는 기존의 연속시간 시스템 현상이 이산시간 MIMO 시스템으로 확장되었음을 보여주며, 지수적 연결성이 연속시간에 국한되지 않음을 시사한다.
• 스펙트럴 반경 조건 $\rho(A - BK) < 1$ 은 이득 공간에서 열린 집합을 정의하며, 특정 구조적 가정 하에서 이득 간 볼록 경로가 안정성을 유지할 수 있어 제약 조건이 있는 경우의 연결성을 증명한다.