[논문 리뷰] On topological full groups of Z^d-actions

Maksym Chornyi, Kate Juschenko외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 12.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 캔터 집합 위의 최소 $ȡa^d$-작용에 대한 위상적 전체군을 통해 간단하고 유한 생성이며 무한한 애매한 군의 새로운 예를 구성한다. 이들 군은 구간 교환 변환과 펜로즈 타일링과 관련된 군을 포함한다. 이 논문은 이러한 작용의 위상적 전체군의 도함수군이 유한 생성이며 단순하다는 것을 증명하여, 새로운 비원시적 애매한 군을 제공한다.

ABSTRACT

We give new examples of simple finitely generated groups arising from actions of free abelian groups on the Cantor sets. As particular examples, we discuss groups of interval exchange transformations, and a group naturally associated with the Penrose tilings. Many groups in this class are amenable.

연구 동기 및 목표

• 위상적 전체군의 $ȡa^d$-작용을 통해 비원시적 애매한 군의 클래스를 확장하기 위해 새로운 예를 구성하는 것.
• 캔터 집합 위의 최소 $ȡa^d$-작용에 대한 위상적 전체군의 도함수군이 유한 생성이며 단순하다는 것을 증명하는 것.
• 펜로즈 타일링 역학의 위상적 전체군과 국소 이동을 통해 캔터 집합 위에 작용하는 군 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• Chou의 결과(단순하고 유한 생성이며 무한인 군은 원시적 애매한 군에 속하지 않는다)를 사용하여 이러한 군이 원시적 애매하지 않음을 보여주는 것.

제안 방법

• 유한 알파벳 $χ$에 대해 $χ^{ȡa^d}$의 닫힌 이동 불변 부분집합 위에서 최소적이고 충실하며 자유로운 $ȡa^d$-작용을 사용하는 것.
• 위상적 전체군을 그룹 원소에 의해 국소적으로 이동으로 작용하는 호메오모르피즘의 군으로 정의하는 것.
• 패치 호환성과 실린더 집합을 사용하여 위상적 전체군의 도함수군에 대한 유한 생성 집합을 구성하는 것.
• Matui 및 다른 이들의 결과를 적용하여 위상적 전체군의 도함수군의 단순성과 유한 생성성을 증명하는 것.
• 펜로즈 타일링 패치의 기하적 분해를 삼각형과 평행사변형으로 나누어 기본 도메인과의 등분할 가능성을 보이는 것.
• 오빗 동치를 통해 펜로즈 타일링과 관련된 군 $π$와 캔터 집합 위의 $ȡa^2$-작용의 위상적 전체군 사이의 동형사상 수립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캔터 집합 위의 $ȡa^d$-작용의 위상적 전체군이 간단하고 유한 생성이며 무한한 애매한 군의 새로운 예를 제공할 수 있는가?
• RQ2 캔터 집합 위의 최소 $ȡa^d$-작용에 대한 위상적 전체군의 도함수군은 유한 생성이며 단순한가?
• RQ3 펜로즈 타일링과 관련된 군의 구조는 무엇이며, 위상적 전체군과 어떤 관계가 있는가?
• RQ4 이러한 군의 도함수군은 원시적 애매하지 않은가?
• RQ5 타일링 패치의 기하적 분해를 사용하여 위상적 전체군과의 군 동형사상을 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 최소적이고 충실한 $ȡa^d$-작용에 대한 위상적 전체군 $[[ȡa^d]]$의 도함수군은 유한 생성된다.
• Matui의 결과에 따라 $[[ȡa^d]]$의 도함수군은 단순하다.
• 펜로즈 타일링과 관련된 군 $π$의 도함수군은 단순하고 유한 생성된다.
• 군 $π$는 복소 평면 내 격자 $P$에 대해 $P/\langle w_1, w_2 \rangle$의 캔터 집합 $\mathcal{C}/\langle w_1, w_2 \rangle$ 위의 $ȡa^2$-작용의 위상적 전체군과 동형이다.
• 포인트가 있는 펜로즈 타일링의 공간은 오각형 $V'$의 합집합과 위상적으로 동형이며, 군 $π$는 국소 이동을 통해 이 공간에 작용한다.
• 격자 $\langle w_1, w_2 \rangle$의 기본 도메인 $F$는 오각형 $V''$의 합집합과 등분할 가능하며, 이는 위상적 전체군으로서 군을 구성하는 데 기여한다.