[논문 리뷰] On Topological Homotopy Groups of $n$-Hawaiian like spaces

Fateme Helen Ghane, Zainab Shehab Hamed외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 26.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $n \geq 2$일 때 $n$-하와이안 유사 공간의 위상적 $n$-호모토피 군 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$가 위상군임을 증명함으로써, 자연스러운 준동형사상 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ 가 전단사임을 보이고, $n$-루프 위의 컴acts-오픈 위상에서 유도된 몫위상이 프로디스크리트 메트릭 위상과 일치함을 보여, 따라서 메트라이징 가능성과 위상군의 구조를 입증한다.

ABSTRACT

By an $n$-Hawaiian like space $X$ we mean the natural inverse limit, $\displaystyle{\varprojlim (Y_i^{(n)},y_i^*)}$, where $(Y_i^{(n)},y_i^*)=\bigvee_{j\leq i}(X_j^{(n)},x_j^*)$ is the wedge of $X_j^{(n)}$'s in which $X_j^{(n)}$'s are $(n-1)$-connected, locally $(n-1)$-connected, $n$-semilocally simply connected and compact CW spaces. In this paper, first we show that the natural homomorphism $\displaystyle{β_n:π_n(X,*) ightarrow \varprojlim π_n(Y_i^{(n)},y_i^*)}$ is bijection. Second, using this fact we prove that the topological $n$-homotopy group of an $n$-Hawaiian like space, $π_n^{top}(X,x^*)$, is a topological group for all $n\geq 2$ which is a partial answer to the open question whether $π_n^{top}(X,x^*)$ is a topological group for any space $X$ and $n\geq 1$. Moreover, we show that $π_n^{top}(X,x^*)$ is metrizable.

연구 동기 및 목표

• 모든 $n \geq 1$ 및 임의의 공간 $X$에 대해 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 가 위상군인지 여부에 대한 열린 질문을 해결하기 위해.
• $n$-하와이안 유사 공간, 즉 국소로 $n$-연결되지 않은 공간의 클래스에 대해 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 가 위상군임을 확립하기 위해.
• 이러한 공간의 위상적 $n$-호모토피 군이 메트라이징 가능하고 일관된 프로디스크리트 메트릭 위상구조를 지닌다는 것을 보여주기 위해.
• 자연스러운 준동형사상 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ 가 전단사임을 보여, 위상적 구조의 이행을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• $n$-하와이안 유사 공간을 $X = \varprojlim (Y_i^{(n)}, y_i^*)$ 로 정의하되, $Y_i^{(n)} = \bigvee_{j \leq i} X_j^{(n)}$ 이며, 각각의 $X_j^{(n)}$ 이 $(n-1)$-연결, 국소로 $(n-1)$-연결, $n$-준지역적으로 단순연결되고, 컴팩트 CW임을 조건으로 한다.
• 높은 와이드를 기저점으로 압축하는 사영 $R_j: X \to Y_j^{(n)}$ 를 통한 투영을 통해 자연스러운 준동형사상 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ 를 구성한다.
• $\pi_n(X,*)$ 에 두 가지 위상을 부여한다: $\Omega^n(X,x^*)$ 위의 컴팩트-오픈 위상에서 유도된 몫위상 $\tau^{\text{top}}$ 과 $\beta_n$ 을 통해 끌고 온 프로디스크리트 위상 $\tau^{\text{lim}}$.
• $\beta_n$ 이 $\pi_n^{\text{lim}}(X,*)$ 와 이산 군들의 역극한 $\varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ 사이의 위상동형사상임을 증명하여, $\tau^{\text{lim}}$ 가 메트라이징 가능함을 보인다.
• 군 위상의 공리들을 만족하는 대칭 이웃근처의 필터 기반을 사용하여 $\pi_n^{\text{lim}}(X,*)$ 가 위상군임을 보인다.
• 순환도형과 $\beta_n^{\text{top}}$ 의 연속성에 의해 $\tau^{\text{top}} = \tau^{\text{lim}}$ 를 확립하여, $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 가 위상군이자 메트라이징 가능함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $n \geq 2$ 일 때 $n$-하와이안 유사 공간에 대해 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 가 위상군인지 여부?
• RQ2 자연스러운 준동형사상 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ 가 위상적 $n$-호모토피 군과 이산 군들의 역극한 사이의 위상동형사상으로 유도되는가?
• RQ3 $\Omega^n(X,x^*)$ 위의 컴팩트-오픈 위상에서 유도된 몫위상이 $\beta_n$ 을 통해 끌고 온 프로디스크리트 위상과 일치하는가를 보일 수 있는가?
• RQ4 $n$-하와이안 유사 공간에 대해 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 가 메트라이징 가능한가?
• RQ5 $\mathcal{H}_n$ 의 $\pi_1^{\text{top}}$ 에서의 메트라이징 불가능성 실패가 더 높은 $n$-호모토피 군으로까지 확장되는가?

주요 결과

• 모든 $n$-하와이안 유사 공간에 대해 자연스러운 준동형사상 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ 는 전단사이다.
• $n \geq 2$ 일 때 위상적 $n$-호모토피 군 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 는 위상군이다.
• $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 의 위상은 메트라이징 가능하며, 이는 프로디스크리트 메트릭 위상과 일치하기 때문이다.
• $\Omega^n(X,x^*)$ 의 컴팩트-오픈 위상에서 유도된 몫위상과 $\beta_n$ 을 통해 끌고 온 프로디스크리트 위상 간의 동치가 보장되어 일관성 확보.
• $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 는 프로디스크리트 메트릭 공간이며, 이는 이산 성분들을 가진 $\varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ 와 위상동형이기 때문이다.
• 이전 연구에서의 간극을 메우며, $n$-하와이안 유사 공간에 대해 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ 의 위상군 구조가 타당함을 보여, 일반 공간에 대한 열린 질문에 부분적인 답을 제공한다.