[논문 리뷰] On topological properties of the formal power series substitution group

Ivan Babenko, S. Bogatyi|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 09.

Advanced Topics in Algebra인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 위상환 k 위의 형식적 멱급수 치환군 𝒥(k)의 위상적 성질을 조사하며, 국소적으로 컴팩트 군으로의 임베딩에 초점을 맞춘다. 𝒥(ℚ)는 어떤 국소적으로 컴팩트 군으로도 연속적 단사 사상이 존재하지 않음을 증명하며, 𝒥(ℤ)는 국소적으로 컴팩트 군으로의 임베딩이 불가능하지만 컴팩트 군으로의 연속적 단사 사상은 존재한다. 주요 기여는 𝒥(ℚ)의 압축 불가능성과 𝒥(ℤ)의 국소적으로 컴팩트 설정에서의 임베딩 불가능성을 입증하는 것으로, 동시에 에르되시 공간을 이용한 일차원 압축 가능한 군의 구성도 제시한다.

ABSTRACT

Certain topological properties of the group $\J(\k)$ of all formal one-variable power series with coefficients in a topological unitary ring $\k$ are considered. We show, in particular, that in the case when $\k=\Q$ the group $\J(\Q)$ has no continuous bijections into a locally compact group. In the case when $\k=\Z$ supplied with discrete topology, in spite of the fact that the group $\J(\Z)$ has continuous bijections into compact groups, it cannot be embedded into a locally compact group. In the final part of the paper the compression property for topological groups is considered. We establish the compressibility of $\J(\Z)$.

연구 동기 및 목표

• 위상환 k 위의 형식적 멱급수 치환군 𝒥(k)의 위상적 구조를 분석하는 것.
• 특히 k = ℚ 및 k = ℤ일 때 𝒥(k)가 국소적으로 컴팩트 군으로 연속적으로 임베딩될 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 𝒥(k)가 컴팩트 또는 국소적으로 컴팩트 군으로 연속적 단사 사상이 존재하는지 조사하는 것.
• 특히 𝒥(k)의 맥락에서 '압축' 개념을 정의하고 연구하는 것.
• 에르되시 공간을 기본 환으로 사용하여 일차원, 분리 가능하고, 거리화 가능한, 압축 가능한 위상군의 예를 구성하는 것.

제안 방법

• 𝒥ₙ(k), 즉 n차 임베딩 맵의 핵으로 유도되는 역극한 위상으로 𝒥(k)에 위상을 부여하여 항등원의 이웃의 기저를 형성하는 것.
• 역극한 구조를 이용해 𝒥(k)의 위상적 성질, 특히 국소적 컴팩트성과 잔여 유한성 분석하는 것.
• 계수 스케일링을 통한 연속적 군 준동형사상(압축) Θₛ: 𝒥(k) → 𝒥(k)를 정의, 여기서 Θₛ(f)(x) = f(sx) (s ∈ k×)로 정의.
• ℚ가 ℝ에 밀도를 이룬다는 사실과 위상적 강성에 기반해, k = ℚ일 때 국소적으로 컴팩트 군으로의 연속적 단사 사상이 존재하지 않음을 증명하는 것.
• 𝒥(ℤ)가 컴팩트 군(예: 𝒥(ℤₚ))으로의 연속적 단사 사상은 존재하지만, 어떤 국소적으로 컴팩트 군으로도 임베딩될 수 없다는 것을 보여주는 것.
• 에르되시 공간 E를 ℚ-대수로 간주하여 일차원 위상환 E를 구성하고, 𝒥(E)가 분리 가능하고, 거리화 가능하며, 압축 가능한 군임을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군 𝒥(ℚ)는 국소적으로 컴팩트 위상군으로 연속적으로 임베딩될 수 있는가?
• RQ2 군 𝒥(ℤ)는 잔여 유한성과 모든 소수 p에 대해 유한 p군으로 근사 가능함에도 불구하고, 국소적으로 컴팩트 군으로 연속적 군 단사환형사상(단사 준동형사상)을 가질 수 있는가?
• RQ3 기본 환 k에 어떤 조건이 성립하면 𝒥(k)가 자기 자신으로 연속적 압축(稠밀한 상을 가지는 자기 준동형사상)을 가질 수 있는가?
• RQ4 일차원, 분리 가능하고, 거리화 가능한 위상군이 존재하는가? 이는 어떤 위상환 k에 대해 𝒥(k)와 동형일 수 있는가?
• RQ5 기본 환 k가 ℚ를 포함하는 경우와 ℤ와 같이 이산 환인 경우에 따라 𝒥(k)의 위상적 성질은 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• ℚ에 어떤 위상 구조가 부여되든, 군 𝒥(ℚ)는 국소적으로 컴팩트 군으로의 연속적 단사 사상이 존재하지 않는다.
• 군 𝒥(ℤ)는 컴팩트 군(예: 𝒥(ℤₚ))으로의 연속적 단사 사상은 존재하지만, 어떤 국소적으로 컴팩트 위상군으로도 임베딩될 수 없다.
• ℚ를 포함하는 모든 위상환 k에 대해 군 𝒥(k)는 국소적으로 컴팩트 군으로의 연속적 단사 사상이 존재하지 않는다.
• 군 𝒥(ℤ)는 잔여 유한성과 모든 소수 p에 대해 유한 p군으로 근사 가능하며, 이는 컴팩트 군(예: 𝒥(ℤₚ))으로의 연속적 단사 사상이 존재함을 의미한다.
• 에르되시 공간 E를 특정한 ℚ-대수의 구조로 부여하여 일차원, 분리 가능하고, 거리화 가능하며, 압축 가능한 위상군 𝒥(E)를 구성한 바 있다.
• 𝒥(k) 위의 압축 준동형사상 Θₛ는 변수 x ↦ sx의 스케일링으로 정의되며, k = ℚ일 경우 이는 관련 리 대수 위에서 θₛ*(eₙ) = (1/s)e_{sn}로 유도되는 보편적 압축을 유도한다.