[논문 리뷰] On topological properties of the group of the null sequences valued in an Abelian topological group

Saak Gabriyelyan|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 21.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 41인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 균일 위상이 부여된 아벨 위상군 X에 값이 있는 영수열의 군 𝔉₀(X)의 위상적 성질을 조사한다. X가 (E)-공간이거나 엄격히 천사 같은 성질을 지니거나 Š-공간이라면, 𝔉₀(X)는 이러한 성질을 그대로 이어받는다. 국소적으로 컴팩트한 아벨 군의 경우, 총 이산성, 슈어 성질, 컴팩트성 존중, 스웨츠트 군의 구조가 모두 동치임을 증명하며, 𝔉₀(X)가 반사적 또는 슈어 성질을 갖는지의 조건을 완전히 규명한다.

ABSTRACT

Following [23], denote by $\mathfrak{F}_0$ the functor on the category $\mathbf{TAG}$ of all Hausdorff Abelian topological groups and continuous homomorphisms which passes each $X\in \mathbf{TAG}$ to the group of all $X$-valued null sequences endowed with the uniform topology. We prove that if $X\in \mathbf{TAG}$ is an $(E)$-space (respectively, a strictly angelic space or a Š-space), then $\mathfrak{F}_0 (X)$ is an $(E)$-space (respectively, a strictly angelic space or a Š-space). We study respected properties for topological groups in particular from categorical point of view. Using this investigation we show that for a locally compact Abelian (LCA) group $X$ the following are equivalent: 1) $X$ is totally disconnected, 2) $\mathfrak{F}_0 (X)$ is a Schwartz group, 3) $\mathfrak{F}_0 (X)$ respects compactness, 4) $\mathfrak{F}_0(X)$ has the Schur property. So, if a LCA group $X$ has non-zero connected component, the group $\mathfrak{F}_0(X)$ is a reflexive non-Schwartz group which does not have the Schur property. We prove also that for every compact connected metrizable Abelian group $X$ the group $\mathfrak{F}_0 (X)$ is monothetic that generalizes a result by Rolewicz for $X=\mathbb{T}$.

연구 동기 및 목표

• X-값을 가진 영수열의 군 𝔉₀(X)가 균일 위상으로 장비된 위상적 성질을 특성화하는 것.
• 기저 군 X가 (E)-공간, 엄격히 천사 같은 성질, 또는 Š-공간일 경우 𝔉₀(X)가 이러한 성질을 어떤 조건에서 이어받는지 규명하는 것.
• 국소적으로 컴팩트한 아벨 군에서 총 이산성, 슈어 성질, 컴팩트성 존중, 스웨츠트 성질 간의 완전한 동치성을 확립하는 것.
• 기존의 결과, 예를 들어 𝔉₀(𝕋)의 단일 생성성 결과를 모든 컴팩트 연결 메트라이잭블 아벨 군으로 일반화하는 것.
• Hausdorff 아벨 위상군의 범주에서 𝔉₀ 및 관련 함자들의 함자적 성질을 조사하는 것.

제안 방법

• 논문은 함자 𝔉₀: TAG → TAG를 정의하여, 각 아벨 위상군 X를 균일 위상이 부여된 X-값을 가진 영수열의 군으로 매핑한다.
• 기존의 위상적 성질이 함자에 의해 어떻게 유지되는지 분석하기 위해, 카테고리 이론 도구를 사용하며, (E)-공간, 천사 같은 성질, 또는 Š-공간 성질이 X에서 𝔉₀(X)로 어떻게 전이되는지 분석한다.
• 보어 함자와 캐릭터 군 이론의 기존 결과를 적용하여, 𝔉₀(X)에서의 쌍대성과 반사성에 대해 분석한다.
• 글릭스버그 정리와 관련된 쌍대 이론을 활용하여, 국소적으로 컴팩트한 아벨 군에서 컴팩트성 존중, 슈어 성질, 스웨츠트 군의 구조 간의 동치성을 확립한다.
• 역로비치의 결과를 확장하여, 모든 컴팩트 연결 메트라이잭블 아벨 군 X에 대해 𝔉₀(X)가 단일 생성임을 증명한다.
• 무한한 인덱스 집합 I에 대해, 관련 함자 𝔉₀ᴵ, 𝔉∞ᴵ, 𝔉ᴵ의 쌍대 군과 반사성에 관한 열린 문제를 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 군 X에서 (E)-공간, 엄격히 천사 같은 성질, 또는 Š-공간 성질을 갖는다면, 영수열 군 𝔉₀(X)는 어떤 조건에서 이러한 성질을 이어받는가?
• RQ2 국소적으로 컴팩트한 아벨 군 X에 대해, 𝔉₀(X)가 스웨츠트 군이거나 컴팩트성 존중 성질을 가지거나 슈어 성질을 갖는 경우는 언제인가?
• RQ3 언제 𝔉₀(X)가 반사적이고, 이는 X의 위상적 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 모든 컴팩트 연결 메트라이잭블 아벨 군 X에 대해, 영수열 군 𝔉₀(X)는 단일 생성인가?
• RQ5 컴팩트 LCA 군 X에 대해, 𝔉∞(X)의 쌍대 군의 구조는 어떠한가? 이 군들이 언제 반사적인가?

주요 결과

• X가 (E)-공간이거나 엄격히 천사 같은 성질을 지니거나 Š-공간이라면, 𝔉₀(X)는 동일한 성질을 이어받는다.
• 국소적으로 컴팩트한 아벨 군 X에 대해 다음은 동치이다: (1) X가 총 이산이며, (2) 𝔉₀(X)가 스웨츠트 군이며, (3) 𝔉₀(X)가 컴팩트성 존중 성질을 가지며, (4) 𝔈₀(X)가 슈어 성질을 갖는다.
• X가 0이 아닌 연결 성분을 가진 국소적으로 컴팩트한 아벨 군이라면, 𝔉₀(X)는 반사적이지만 스웨츠트 군이 아니며 슈어 성질을 갖지 않는다.
• 모든 컴팩트 연결 메트라이잭블 아벨 군 X에 대해, 군 𝔉₀(X)는 단일 생성이며, 이는 역로비치의 결과를 𝕋에 대해 일반화한 것이다.
• 모든 국소적으로 컴팩트한 아벨 군 X에 대해 𝔉₀(X)는 반사적이다. 그러나 𝔉∞(X)의 쌍대 군은 완전히 기술되지 않았으며, X=𝕋일 경우 그 기수는 2^𝔠임이 알려져 있다.
• 논문은 무한한 인덱스 집합 I에 대해 함자 𝔉₀ᴵ, 𝔉∞ᴵ, 𝔉ᴵ의 쌍대성과 반사성에 관한 열린 문제를 규명한다.