[논문 리뷰] On total claim amount for marked Poisson cluster models

Bojan Basrak, Olivier Wintenberger외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 09.

Probability and Risk Models참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 청구 금액의 총합에 대한 극한 정리들을 입증한다. 표식이 부여된 포아송 클러스터 모델에서 청구 발생은 군집화되며, 표식은 청구 금액과 향후 발생률에 영향을 미친다. 청구 금액이 규칙적인 변화를 보일 경우, 정규화된 총 청구 금액은 청구 금액 꼬리가 두꺼운 경우 무한 분산을 가진 안정 분포로 수렴하고, 두 번째 모멘트 조건이 만족될 경우 정규 분포로 수렴한다.

ABSTRACT

We study the asymptotic distribution of the total claim amount for marked Poisson cluster models. The marks determine the size and other characteristics of the individual claims and potentially influence arrival rate of the future claims. We find sufficient conditions under which the total claim amount satisfies the central limit theorem or alternatively tends in distribution to an infinite variance stable random variable. We discuss several Poisson cluster models in detail, paying special attention to the marked Hawkes processes as our key example.

연구 동기 및 목표

• 표식이 부여된 포아송 클러스터 과정에서 총 청구 금액의 점차적 분포를 연구함으로써, 전통적인 크라머–룬베르크 모델에 군집 효과를 포함시키는 것.
• 총 청구 금액이 중심극한정리 또는 무한 분산을 가진 안정 법칙으로 수렴하는 조건을 규명하는 것.
• 표식과 청구 발생 시간 간의 의존성이 총 청구 금액의 극한 행동에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 이러한 군집 모델의 주요 예로 표식이 부여된 옥스 프로세스를 상세히 분석하는 것.
• 독립적인 재생 과정에 따라 순서를 매긴 정규적으로 변화하는 i.i.d. 랜덤 변수들의 합에 대한 기능적 극한정리를 수립하여, 청구 금액 과정에 적용 가능한 극한 행동을 도출하는 것.

제안 방법

• 청구 발생을 [0,∞) × S 상의 표식이 부여된 포아송 점 과정으로 모델링하며, S의 표식은 청구 금액을 결정하고 향후 발생률에 영향을 미친다.
• 총 청구 금액 S(t)를 구간 [0,t] × S 상의 점 과정 N에 대해 청구 금액 함수 f(a)의 적분으로 정의한다.
• 각 원래 점 Γi가 독립적인 클러스터 과정 G^Ai를 생성하는 클러스터 구조를 정의하며, 분포 K(Ai, ⋅)를 통해 표식이 클러스터 강도에 영향을 미친다.
• 독립적인 재생 과정에 따라 순서를 매긴 i.i.d. 정규적으로 변화하는 랜덤 변수들의 합에 대한 기능적 극한정리를 적용하여 S(t)의 점차적 행동을 도출한다.
• 정규적으로 변화하는 이론과 타우버형 정리를 활용하여, 청구 금액 분포의 꼬리 행동을 두꺼운 꼬리 청구 금액 분포 조건 하에서 특성화한다.
• 결과를 표식이 부여된 옥스 프로세스에 적용하여, 청구 금액 꼬리가 α ∈ (0,2) 인 정규적으로 변화하는 지수를 가질 경우 안정 법칙으로 수렴함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표식이 부여된 포아송 클러스터 모델에서 총 청구 금액이 중심극한정리를 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 청구 금액이 무한 분산을 가지는 경우는 언제이며, 정규화된 총 청구 금액의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ3 표식과 발생 시간 간의 의존성이 총 청구 금액의 점차적 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 정규적으로 변화하는 청구 금액을 가진 표식이 부여된 옥스 프로세스에서 총 청구 금액의 정확한 점차적 분포는 무엇인가?
• RQ5 순서를 매긴 합에 대한 기능적 극한정리는 군집 모델에서 총 청구 금액의 극한 법칙을 도출하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 청구 금액의 분산이 유한하고 두 번째 모멘트 조건이 만족될 경우, 정규화된 총 청구 금액 S(t)는 분포적으로 정규(가우시안) 랜덤 변수로 수렴한다.
• 청구 금액이 꼬리 지수 α ∈ (0,1) 인 정규적으로 변화하는 경우, 정규화된 총 청구 금액 S(t)/a_⌊νt⌋는 엄격하게 안정한 α-안정 랜덤 변수 Gα로 분포적으로 수렴한다.
• α ∈ (1,2) 인 경우, 중심화된 총 청구 금액 (S(t) − tνμD)/a_⌊νt⌋는 기대된 지연 청구 수가 충분히 빠르게 감소할 경우, 엄격하게 안정한 α-안정 랜덤 변수 Gα로 분포적으로 수렴한다.
• 안정 법칙으로의 수렴은 클러스터 크기 분포의 꼬리 행동과 시간 t 이후 도착하는 청구 수의 기대값 감쇠 속도를 포함한 모멘트 조건 하에서 성립한다.
• 결과는 표식이 부여된 옥스 프로세스의 정적 상태판으로 확장되며, 동일한 조건 하에서 동일한 극한 행동을 확인한다.
• 논문은 불완전한 청구에서 비롯된 오차 항 εt가 클러스터 크기 분포의 꼬리 행동에 대한 기술된 감쇠 조건 하에서 점차적으로 무시할 수 있음(oP(at))을 입증한다.