[논문 리뷰] On total dominating sets in graphs

Maryam Atapour, Nasrin Soltankhah|ArXiv.org|2008. 10. 26.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 총 독립 수의 상한 $ olimits\gamma_t(G) \leq n - \Delta(G) + 1$ 을 만족하는 이분 그래프와 트리의 특성을 규명하며, 이러한 그래프가 별 $K_{1,t}$ 와 $r$ 개의 $K_2$ 복사본의 disjoint 합임을 증명한다. 또한 $ olimits\gamma_t(G)$ 를 위한 새로운 상한 및 하한을 수립하고, 원형 완전 그래프 $K_{n,d}$ 의 정확한 총 독립 수를 결정하며, $n \geq 4d-2$ 일 때 $ olimits\gamma_t(K_{n,d}) = 2$ 이고, $3d \leq n \leq 4d-3$ 일 때 $ olimits\gamma_t(K_{n,d}) = 3$ 이라고 보여준다. 결과적으로 기존의 상한을 정교화하고 밀도가 높은 그래프의 일부에 대해 정확한 값을 제공한다.

ABSTRACT

A set $S$ of vertices in a graph $G(V,E)$ is called a dominating set if every vertex $v\in V$ is either an element of $S$ or is adjacent to an element of $S$. A set $S$ of vertices in a graph $G(V,E)$ is called a total dominating set if every vertex $v\in V$ is adjacent to an element of $S$. The domination number of a graph $G$ denoted by $γ(G)$ is the minimum cardinality of a dominating set in $G$. Respectively the total domination number of a graph $G$ denoted by $γ_t(G)$ is the minimum cardinality of a total dominating set in $G$. An upper bound for $γ_t(G)$ which has been achieved by Cockayne and et al. in $\cite{coc}$ is: for any graph $G$ with no isolated vertex and maximum degree $Δ(G)$ and $n$ vertices, $γ_t(G)\leq n-Δ(G)+1$. Here we characterize bipartite graphs and trees which achieve this upper bound. Further we present some another upper and lower bounds for $γ_t(G)$. Also, for circular complete graphs, we determine the value of $γ_t(G)$.

연구 동기 및 목표

• 총 독립 수에 대한 상한 $ olimits\gamma_t(G) \leq n - \Delta(G) + 1$ 을 만족하는 모든 이분 그래프와 트리를 규명하는 것.
• 일반 그래프에서 $ olimits\gamma_t(G)$ 를 위한 새로운 상한 및 하한을 수립하는 것.
• 원형 완전 그래프 $K_{n,d}$ 에서 총 독립 수의 정확한 값을 결정하는 것.

제안 방법

• 총 독립 집합의 차수 제약 조건을 이용하여 $ olimits\gamma_t(G) \geq \lceil n / \Delta(G) \rceil$ 를 증명하였다.
• 지름과 둘레 조건을 활용하여 상한을 유도: 지름이 2인 그래프에 대해 $ olimits\gamma_t(G) \leq \delta(G) + 1$, 둘레가 $\geq 5$ 인 그래프에 대해 $ olimits\gamma_t(G) \leq n - \lceil g(G)/2 \rceil + 1$.
• 이분 그래프의 분할 $A$ 와 $B$ 에 대한 구조적 분석을 수행하여, 상한에 도달하기 위한 필수 조건을 유도하였다. 특히, 정점의 차수와 이웃 관계에 중점을 두었다.
• 모순과 구성 기법을 활용하여, 이분 그래프에서 상한에 도달하는 그래프는 $K_{1,t} \cup rK_2$ 형식 외에는 존재하지 않음을 보였다.
• 원형 완전 그래프 $K_{n,d}$ 에 대해 명시적인 총 독립 집합을 구성하여, $n \geq 4d-2$ 일 때 $ olimits\gamma_t = 2$ 이고, $3d \leq n \leq 4d-3$ 일 때 $ olimits\gamma_t = 3$ 이라고 증명하였다.
• 최악의 경우 예시인 $K_n$, $C_{4n}$, $P_{4n}$, $C_5$ 를 활용하여 상한의 날카로움을 검증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 이분 그래프가 $\gamma_t(G) = n - \Delta(G) + 1$ 을 만족하는가?
• RQ2 어떤 트리가 $\gamma_t(T) = n - \Delta(T) + 1$ 을 만족하는가?
• RQ3 $n$, $\Delta(G)$, $\delta(G)$, 둘레를 고려할 때, $\gamma_t(G)$ 에 대한 날카로운 상한 및 하한은 무엇인가?
• RQ4 원형 완전 그래프 $K_{n,d}$ 에서 $\gamma_t(K_{n,d})$ 의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ5 어떤 $n$ 과 $d$ 에 대해 $\gamma_t(K_{n,d}) = 2$ 또는 $3$ 이 되는가?

주요 결과

• 총 독립 수 상한 $ olimits\gamma_t(G) = n - \Delta(G) + 1$ 을 만족하는 유일한 이분 그래프는 $r \geq 0$ 일 때 $K_{1,t} \cup rK_2$ 형식이며, 이때 $t = \Delta(G)$ 이다.
• 총 독립 수 상한 $ olimits\gamma_t(T) = n - \Delta(T) + 1$ 을 만족하는 유일한 트리는 별 그래프이며, 즉 $T = K_{1,n-1}$ 이다.
• 모든 연결 그래프 $G$ 에 대해 $ olimits\gamma_t(G) \geq \lceil n / \Delta(G) \rceil$ 이며, 이 상한은 $K_n$, $C_{4n}$, $P_{4n}$ 에서 날카롭게 성립한다.
• 지름 $ olimits\text{diam}(G) = 2$ 이면 $ olimits\gamma_t(G) \leq \delta(G) + 1$ 이며, 이 상한은 $C_5$ 에서 날카롭게 성립한다. 여기서 $ olimits\gamma_t(C_5) = 3 = \delta(C_5) + 1$ 이다.
• 둘레 $g(G) \geq 5$ 이고 $ olimits\delta(G) \geq 2$ 인 연결 그래프에 대해 $ olimits\gamma_t(G) \leq n - \lceil g(G)/2 \rceil + 1$ 이며, 특정한 구조적 조건을 만족할 경우 등호가 성립할 수 있다.
• $d \geq 3$ 인 원형 완전 그래프 $K_{n,d}$ 에 대해 $ olimits\gamma_t(K_{n,d}) = 2$ 는 $n \geq 4d - 2$ 일 때 성립하고, $ olimits\gamma_t(K_{n,d}) = 3$ 은 $3d \leq n \leq 4d - 3$ 일 때 성립한다.