[논문 리뷰] On transformation semigroups based on digraphs

James East, Maximilien Gadouleau외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 04.

semigroups and automata theory인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 순환 없고 간선이 단순한 방향성 그래프에서 유도된 등급 사상으로 생성된 변환 반군에 대해 연구한다. 반군이 길이 $k$인 순환을 포함하는 변환을 갖는지 여부를 판단하기 위한 선형 시간 알고리즘을 제시하며, 반군이 역원성, 가환성, 단순성, 또는 그린 관계에 대해 $σ$-자명성 등의 주요 대수적 성질을 갖는 경우를 완전히 분류한다. 또한 영원의 존재 조건 및 기타 구조적 특성에 대한 조건도 제시한다.

ABSTRACT

Given any digraph $D$ without loops or multiple arcs, there is a natural construction of a semigroup $\langle D angle$ of transformations. To every arc $(a,b)$ of $D$ is associated the idempotent transformation $(a o b)$ mapping $a$ to $b$ and fixing all vertices other than $a$. The semigroup $\langle D angle$ is generated by the idempotent transformations $(a o b)$ for all arcs $(a,b)$ of $D$. In this paper, we consider the question of when there is a transformation in $\langle D angle$ containing a large cycle, and, for fixed $k\in \mathbb N$, we give a linear time algorithm to verify if $\langle D angle$ contains a transformation with a cycle of length $k$. We also classify those digraphs $D$ such that $\langle D angle$ has one of the following properties: inverse, completely regular, commutative, simple, 0-simple, a semilattice, a rectangular band, congruence-free, is $\mathscr{K}$-trivial or $\mathscr{K}$-universal where $\mathscr{K}$ is any of Green's $\mathscr{H}$-, $\mathscr{L}$-, $\mathscr{R}$-, or $\mathscr{J}$-relation, and when $\langle D angle$ has a left, right, or two-sided zero.

연구 동기 및 목표

• 방향성 그래프 $D$ 에 의해 생성된 변환 반군 $σ(D)$ 가 큰 순환을 갖는 변환을 포함하는지 여부를 결정하는 것.
• 고정된 길이 $k$의 순환을 $σ(D)$ 내에 포함하는지 확인하기 위한 효율적인 알고리즘 개발.
• 반군이 역원성, 가환성, 또는 단순성 등의 기본 반군 이론적 성질을 만족하는 모든 방향성 그래프 $D$ 를 분류하는 것.
• 반군이 왼쪽, 오른쪽, 또는 양쪽 영원, 또는 동치관계 자유성 등의 구조적 특성을 갖는 그래프를 특성화하는 것.
• 그린 관계($\mathscr{H}, \mathscr{L}, \mathscr{R}, \mathscr{J}$)에 대한 $σ(D)$ 의 행동을 분석하며, $\mathscr{K}$-자명성 및 $\mathscr{K}$-일반성 포함.

제안 방법

• 순환 없고 단순한 방향성 그래프 $D$ 의 각 간선 $(a,b)$ 에 대해, $a$ 를 $b$ 로 매핑하고 나머지 정점은 고정시키는 등급 변환 $(a \to b)$ 를 부여한다.
• 모든 $D$ 의 간선에서 유도된 이러한 등급 변환들로 생성되는 합성에 대한 반군 $σ(D)$ 를 생성한다.
• 구조적 그래프 이론적 분석을 통해 $σ(D)$ 가 길이 $k$인 순환을 갖는 변환을 포함하는 조건을 규명하며, $D$ 의 경로 및 순환 구조를 활용한다.
• 기초가 되는 방향성 그래프의 연결성 및 폐쇄 성질을 분석하여, 반군 내 $k$-순환 존재 여부를 선형 시간 알고리즘으로 테스트한다.
• 반군 이론을 적용하여 생성 등급 변환의 구조와 상호작용을 기반으로 $σ(D)$ 를 그린 관계에 따라 분류한다.
• 변환의 정점 집합에 대한 작용을 분석하여, $σ(D)$ 내 왼쪽, 오른쪽, 또는 양쪽 영원의 존재에 필요한 필수 및 충분 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 $k \in \mathbb{N}$ 에 대해, 반군 $σ(D)$ 가 길이 $k$인 순환을 갖는 변환을 포함하는가?
• RQ2 어떤 방향성 그래프 $D$ 가 반군 $σ(D)$ 가 역원성, 완전 정규성, 또는 가환성을 만족하는가?
• RQ3 어떤 방향성 그래프에 대해 $σ(D)$ 가 단순, 0-단순, 반군 스킴, 또는 직사각형 밴드인가?
• RQ4 $σ(D)$ 가 그린 관계 $\mathscr{H}, \mathscr{L}, \mathscr{R}, \mathscr{J}$ 에 대해 동치관계 자유성 또는 $σ$-자명성(또는 $σ$-일반성)을 만족하는가?
• RQ5 $σ(D)$ 가 왼쪽, 오른쪽, 또는 양쪽 영원 원소를 갖는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 고정된 $k$ 에 대해, 반군 $σ(D)$ 가 길이 $k$인 순환을 갖는 변환을 포함하는지 여부를 판단하기 위한 선형 시간 알고리즘이 존재한다.
• 반군 $σ(D)$ 가 역원성이 되는 것은 $D$ 가 방향성 순환과 고립 정점의 서로소 합집합일 때이고, 그 때에만 성립한다.
• 반군 $σ(D)$ 가 가환성이 되는 것은 $D$ 가 방향성 순환과 고립 정점의 서로소 합집합이며, 동시에 두 간선가 같은 출발점이나 도착점을 공유하지 않을 때에만 성립한다.
• 반군 $σ(D)$ 가 반군 스킴이 되는 것은 $D$ 가 고립 정점과 자기순환의 서로소 합집합이지만, $D$ 는 순환을 포함하지 않기 때문에, 이는 $D$ 가 공집합일 때에만 성립한다.
• 반군 $σ(D)$ 가 직사각형 밴드가 되는 것은 $D$ 가 한 쪽 부분에서 다른 쪽 부분으로만 간선이 향하는 완전 이분 방향 그래프이며, 그 외 간선가 존재하지 않을 때에만 성립한다.
• 반군 $σ(D)$ 가 양쪽 영원을 갖는 것은 $D$ 가 동시에 출발점이자 종착점인 정점을 갖는 경우이며, 이는 $D$ 가 공집합일 때에만 가능하다.