[논문 리뷰] On Transitory Queueing

Harsha Honnappa, Rahul Jain외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 07.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 51인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유체 및 확산 근사의 일반화인 인구 가속화(PA) 기법을 사용하여 일시적 대기열 시스템—비정상적, 유한 시간 또는 유한 인구 대기열—을 분석하는 새로운 프레임워크를 제안한다. 세 가지 다른 모델($Δ_{(i)}/GI/1$, 조건부 $G/GI/1$, 시점 불확실성이 있는 스케줄링된 교통)이 PA 하에서 渐近적으로 분포적으로 동일하다고 규명하였으며, 유체 근사는 스코로코프드 반사로, 확산 근사는 반사 맵의 방향 도함수로 나타난다.

ABSTRACT

We introduce a framework and develop a theory of transitory queueing models. These are models that are not only non-stationary and time-varying but also have other features such as the queueing system operates over finite time, or only a finite population arrives. Such models are relevant in many real-world settings, from queues at post-offces, DMV, concert halls and stadia to out-patient departments at hospitals. We develop fluid and diffusion limits for a large class of transitory queueing models. We then introduce three specific models that fit within this framework, namely, the Delta(i)/GI/1 model, the conditioned G/GI/1 model, and an arrival model of scheduled traffic with epoch uncertainty. We show that asymptotically these models are distributionally equivalent, i.e., they have the same fluid and diffusion limits. We note that our framework provides the first ever way of analyzing the standard G/GI/1 model when we condition on the number of arrivals. In obtaining these results, we provide generalizations and extensions of the Glivenko-Cantelli and Donskers Theorem for empirical processes with triangular arrays. Our analysis uses the population acceleration technique that we introduce and develop. This may be useful in analysis of other non-stationary and non-ergodic queuing models.

연구 동기 및 목표

• 유한 시간 또는 유한 인구를 가진 비정상적, 비ergodic 대기열 시스템을 분석하기 위한 이론적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 비마르코프, 일시적 환경에서 고전적 방법인 균일 가속화 및 점별 정상 근사법의 한계를 해결하기 위해.
• empirical 과정 분석을 위해 삼각형 배열에 대한 글리븐코-칸텔리 및 도네스커 정리의 일반화를 제공하기 위해.
• 도착 및 서비스 과정에 대한 약한 가정 하에서 광범위한 일시적 대기열 모델에 대해 유체 및 확산 근사를 수립하기 위해.
• 제안된 프레임워크 하에서 세 가지 다른 일시적 모델이 渐近적으로 분포적으로 동일하다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 고정된 시간 간격 내에서 사용자 수를 스케일링하지만 시간축을 재스케일링하지 않는 인구 가속화(PA) 기법을 도입하여 渐近적 분석을 가능하게 한다.
• 유체 및 대기열 길이 과정의 근사를 도출하기 위해 기능적 강한 법칙의 수렴(fSLLN)과 기능적 중심극한정리(fCLT)를 적용한다.
• 유체 근사를 기반으로 넷풋 과정의 스코로코프드 반사로 특성화하며, 과부하, 저부하, 임계 부하 상태 간의 시간에 따라 변화하는 행동을 허용한다.
• 확산 근사를 스코로코프드 반사 맵의 방향 도함수로 도출하며, 이는 확산 넷풋 과정 방향으로의 미분을 의미한다.
• 비.i.i.d. 및 시간에 따라 변화하는 설정에서의 empirical 과정 분석을 위해 삼각형 배열에 대한 글리븐코-칸텔리 및 도네스커 정리의 일반화를 수행한다.
• 약한 수렴 하에서 과정 수렴 분석을 위해 $M_1$ 위상 사용하여 극한 정리의 강건성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정상적, 비ergodic이며, 유한 시간 또는 유한 인구에서 작동하는 일시적 대기열 시스템을 분석할 수 있는 일반적 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 고전적 ergodicity 가정이 실패하는 일시적 시스템에서 유체 및 확산 근사는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 예를 들어 $Δ_{(i)}/GI/1$, 조건부 $G/GI/1$, 시점 불확실성이 있는 스케줄링된 교통 등 서로 다른 일시적 대기열 모델들이 渐近적으로 분포적으로 동일한가?
• RQ4 표준 $G/GI/1$ 모델은 도착 수에 조건부로 의미 있게 분석될 수 있는가, 만약 그렇다면 어떻게?
• RQ5 삼각형 배열에서 유도된 empirical 과정을 다루기 위해 고전적 극한 정리(Glivenko-Cantelli, Donsker)는 어떤 확장이 필요한가?

주요 결과

• 대기열 길이 과정의 유체 근사는 넷풋 과정의 유체 근사에 대한 스코로코프드 반사이며, 시간에 따라 변화하며 과부하, 저부하, 임계 부하 상태를 오가는 행동을 한다.
• 대기열 길이 과정의 확산 근사는 스코로코프드 반사 맵의 방향 도함수로 표현되며, 이는 정확한 渐近적 근사 제공한다.
• $Δ_{(i)}/GI/1$, 조건부 $G/GI/1$, 시점 불확실성이 있는 스케줄링된 교통 모델은 PA 프레임워크 하에서 渐近적으로 분포적으로 동일하며, 동일한 유체 및 확산 근사를 공유한다.
• 이 프레임워크는 표준 $G/GI/1$ 모델이 도착 수에 조건부로 분석될 수 있도록 하는 첫 번째 방법을 제공하며, 대기열 이론에서 오랫동안 존재하던 격차를 해결한다.
• 비.i.i.d. 및 시간에 따라 변화하는 설정에서의 empirical 과정 수렴 분석을 가능하게 하기 위해 삼각형 배열에 대한 일반화된 글리븐코-칸텔리 및 도네스커 정리가 수립되었다.
• 인구 스케일링 영역에서 도착 분포의 지지체를 특성화하는 인덱스 $j_n^*$ 및 $j_n^{**}$에 대한 극한 논증을 통해 유체 근사의 균일 수렴이 증명되었다.