[논문 리뷰] On Turing machines, dynamical systems and the Atiyah problem

Łukasz Grabowski|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 12.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 M. Atiyah의 l^2-Betti 수 문제의 핵심 측면을 해결하여, 모든 음이 아닌 실수들이 l^2-Betti 수임을 보이고, 특히 음이 아닌 대수적 수들은 자유 코컴팩트 군 작용을 통한 단순연결 다성분에서 실현됨을 보여준다. 핵심 혁신은 튜링 기계를 정수 군환에 통합하여, Z/2 ≀ Z의 삼중 곱인 라플라이터 군의 작용 하에 단순연결 다성분에서 초월수인 l^2-Betti 수를 구축할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

Main theorems of the article concern the problem of M. Atiyah on possible values of l^2-Betti numbers. It is shown that all non-negative real numbers are l^2-Betti numbers, and that many (for example all non-negative algebraic) real numbers are l^2-Betti numbers of simply connected manifolds with respect to a free cocompact action. Also an explicit example is constructed which leads to a simply connected manifold with a transcendental l^2-Betti number with respect to an action of the threefold direct product of the lamplighter group Z/2 wr Z. The main new idea is embedding Turing machines into integral group rings. The main tool developed generalizes known techniques of spectral computations for certain random walk operators to arbitrary operators in groupoid rings of discrete measured groupoids.

연구 동기 및 목표

• l^2-Betti 수의 가능한 값에 관해 M. Atiyah의 미해결 문제를 다루는 것.
• 자유 코컴팩트 군 작용 하에 단순연결 다성분에서 어떤 실수가 l^2-Betti 수로 나타날 수 있는지 규명하는 것.
• 초월수인 l^2-Betti 수를 실현하는 명시적 다성분의 예를 구성하는 것.
• 이산 측도가 부여된 군oids의 군환에 대한 일반 연산자로의 스펙트럼 계산 기법을 일반화하는 것.

제안 방법

• 불가결 문제를 대수적 구조에 통합하기 위해 튜링 기계를 정수 군환에 통합하는 것.
• 랜덤 워크 연산자에서 일반 연산자로의 스펙트럼 계산 방법을 이산 측도가 부여된 군oids의 군환으로 확장하는 것.
• 라플라이터 군 Z/2 ≀ Z의 삼중 직접곱의 구조를 활용하여 이국적인 l^2-Betti 수를 실현하는 것.
• 원하는 l^2-Betti 수를 실현하기 위해 자유 코컴팩트 작용을 갖는 단순연결 다성분을 구성하는 것.
• 일반화된 스펙트럼 기법을 적용하여 복잡한 군oids 군환 연산자 존재 하에서 l^2-Betti 수를 계산하는 것.
• 튜링 기계에 의해 인코딩된 불가결성으로 인해 l^2-Betti 수 스펙트럼 내 초월값을 생성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 코컴팩트 군 작용 하에 단순연결 다성분에서 어떤 실수가 l^2-Betti 수로 나타날 수 있는가?
• RQ2 다성분 위의 군 작용 맥락에서 초월수가 l^2-Betti 수로 나타날 수 있는가?
• RQ3 군oids 군환에서의 스펙트럼 계산은 랜덤 워크 연산자 이외의 범위로 얼마나 일반화될 수 있는가?
• RQ4 튜링 기계의 불가결성은 어떻게 대수적으로 인코딩되어 기하적 불변량인 l^2-Betti 수에 영향을 줄 수 있는가?
• RQ5 라플라이터 군의 삼중 곱은 어떤 방식으로 이국적인 l^2-Betti 수를 실현하는 데 기여하는가?

주요 결과

• 모든 음이 아닌 실수들이 실현되어 Atiyah의 추측의 주요 케이스를 해결한다.
• 모든 음이 아닌 대수적 실수들은 자유 코컴팩트 군 작용 하에 단순연결 다성분의 l^2-Betti 수이다.
• 명시적 구성에 의해 (Z/2 ≀ Z)^3 작용 하에 초월수인 l^2-Betti 수를 갖는 단순연결 다성분이 실현된다.
• 일반화된 스펙트럼 방법은 군oids 군환의 임의의 연산자에 대한 l^2-Betti 수 계산을 가능하게 하며, 기존 기법을 확장한다.
• 튜링 기계를 정수 군환에 통합하는 방법은 임의의 대수적 및 초월값을 갖는 l^2-Betti 수를 생성하는 메커니즘을 제공한다.
• 라플라이터 군의 삼중 곱은 초월수인 l^2-Betti 수를 갖는 다성분을 실현하는 데 충분한 군 작용이다.