[논문 리뷰] On Two Conjectures about Permutation Trinomials over $\mathbb{F}_{3^{2k}}$

Nian Li|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 14.

Coding theory and cryptography참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 2016년 리, 쑹, 리, 후에 의해 제기된 두 개의 추측을 해결한다. 구체적으로, $ℝ_{3^{2k}}$에서 특정한 다섯 번째 및 일곱 번째 차수의 유리 함수가 단위군 $μ_{3^k+1}$ 내의 $(3^k+1)$-번째 단위근의 집합을 치환한다는 것을 증명한다. 증명은 관련 다항식의 이차 인수를 분석하고, 이들이 단위군 내에서 서로 다른 해를 가질 수 없음을 보여, 주어진 조건 하에서 치환 성질이 성립함을 확인한다.

ABSTRACT

Permutation polynomials with few terms attracts researchers' interest in recent years due to their simple algebraic form and some additional extraordinary properties. In this paper, by analyzing the quadratic factors of a fifth-degree polynomial and a seventh-degree polynomial over the finite field $\mathbb{F}_{3^{2k}}$, two conjectures on permutation trinomials over $\mathbb{F}_{3^{2k}}$ proposed recently by Li, Qu, Li and Fu are settled, where $k$ is a positive integer.

연구 동기 및 목표

• 2016년 리, 쑹, 리, 후에 의해 제기된 $ℝ_{3^{2k}}$에서의 치환 삼항식에 대한 두 개의 열린 추측을 해결하기 위해.
• 특정 삼항식의 치환 성질을 증명하기 위해, 관련된 유리 함수가 $(3^k+1)$-번째 단위근의 집합 $μ_{3^k+1}$를 치환한다는 것을 검증함으로써.
• 특정한 다섯 번째 및 일곱 번째 차수의 방정식이 $ℝ_{3^{2k}}$에서 $μ_{3^k+1}$ 내에 최대 한 개의 해만 가질 수 있음을 증명함으로써, 치환 행동을 확인하는 데 필수적인 조건을 확보하기 위해.
• 유한체 위에서 고차수 다항식의 이차 인수의 구조를 분석하여, 단위군 $μ_{3^k+1}$ 내에서 다수의 해가 존재하지 않도록 제약을 가하는 것.

제안 방법

• 레마 1을 적용하여 치환 문제를 $ℝ_{3^{2k}}$ 내의 $(3^k+1)$-번째 단위근의 집합 $μ_{3^k+1}$을 치환하는 유리 함수의 성질을 검증하는 것으로 간소화한다.
• 관련된 유리 함수의 분자 및 분모의 이차 인수를 분석하여 가능한 해의 구조를 규명한다.
• 유한체 이론 기법을 사용하여, $μ_{3^k+1}$에 속한 원소들에 대해 $a^q b = a$ 조건을 적용하여 이차 인수의 가능한 근을 제약한다.
• 변수 $θ$에 대해 $θ^3 - θ - 1 = 0$을 만족하는 삼차 방정식을 유도하고, 그 해가 $ℝ_{3^{2k}}$ 내에서 해가 되는지 분석한다.
• $x^3 - x - 1$이 $ℝ_3$에서 기약임을 이용하고, $k \equiv 0 \pmod{3}$일 때에만 $ℝ_{3^{2k}}$ 내에 근이 존재함을 이용하여 해의 가능성 범위를 제한한다.
• 두 개의 서로 다른 해가 존재한다고 가정할 경우, 특히 $k \not\equiv 0 \pmod{3}$ 또는 $k \equiv 0 \pmod{3}$일 때, 추적 항등식과 단위근의 차수에 관련된 모순이 발생함을 보여, 이를 통해 해의 유일성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리 함수 $g(x) = \frac{-x^7 + x^6 + x}{x^6 + x - 1}$는 $k$ 가 짝수일 때 집합 $\mu_{3^k+1}$을 치환하는가?
• RQ2 유리 함수 $g(x) = \frac{x^6 + x^4 - 1}{-x^7 + x^3 + x}$는 모든 $k$ 에 대해 $\mu_{3^k+1}$을 치환하는가?
• RQ3 유리 함수 $g(x) = \frac{-x^5 + x^3 + x}{x^4 + x^2 - 1}$는 $k \not\equiv 2 \pmod{4}$ 일 때 $\mu_{3^k+1}$을 치환하는가?
• RQ4 방정식 $x^7 + t x^6 + t x^4 - x^3 - x - t = 0$은 어떤 $t \in \mu_{3^k+1}$에 대해서도 $\mu_{3^k+1}$ 내에 두 개 이상의 해를 가질 수 있는가?
• RQ5 삼차 방정식 $\theta^3 - \theta - 1 = 0$이 $\mathbb{F}_{3^{2k}}$ 내에 해를 가지는 조건은 무엇이며, 이는 치환 방정식의 해 구조에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 $t \in \mu_{3^k+1}$에 대해 방정식 $x^7 + t x^6 + t x^4 - x^3 - x - t = 0$ 은 $μ_{3^k+1}$ 내에 최대 한 개의 해만 가지며, 이는 추측 2(2)의 확인을 의미한다.
• $k \not\equiv 0 \pmod{3}$ 일 때, 삼차 방정식 $\theta^3 - \theta - 1 = 0$ 은 $\mathbb{F}_{3^{2k}}$ 내에 해가 없으며, 이는 특정한 해 구조를 배제하고 해의 유일성을 뒷받침한다.
• $k \equiv 0 \pmod{3}$ 일 때, $\theta \in \mathbb{F}_{3^3} \subseteq \mathbb{F}_{3^k}$ 이고 $\theta^{(3^k - 1)/2} = 1$ 이다. 이 조건은 $μ_{3^k+1}$ 내에 두 개의 서로 다른 해가 존재할 경우 모순을 일으키며, 따라서 해의 유일성을 증명한다.
• 관련 다항식의 이차 인수 $x^2 + a x + b$ 에 대해 $a^q b = a$ 조건을 사용하여 가능한 근을 제약하고, $μ_{3^k+1}$ 내에서 다수의 해가 존재하지 않도록 한다.
• 두 개의 서로 다른 해가 존재한다고 가정할 경우 $√{\theta} + (√{\theta})^q = 0$ 이 도출되며, 이는 $θ^{(q-1)/2} = 1$ 과 모순되므로 해의 유일성을 증명한다.
• 추측 2(1)은 아직 미해결이지만, 추측 2(2)를 해결하는 데 사용된 방법은 그 해결을 위한 길을 제시하며, 유사한 대수적 제약 조건이 적용된다는 것을 시사한다.