[논문 리뷰] On two conjectures of Sierpi\'nski concerning the arithmetic functions $\sigma$ and $\phi$

Kevin Ford, Sergeĭ Konyagin|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 01.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 시에르핏스의 두 오랜 추측을 증명한다: 모든 양의 정수 k에 대해, 합수 함수 σ(x) = m이 정확히 k개의 해를 가지는 수 m이 존재한다(정리 1), 그리고 모든 짝수 k에 대해, 오일러의 파이 함수 φ(x) = m이 정확히 k개의 해를 가지는 수 m이 존재한다(정리 2). 증명은 필터 방법과 거의 소수 이론을 사용하여 조건 없는 방법으로 해를 구성함으로써, 이전에 Hypothesis H나 딕슨의 추측에 기반한 조건부 결과의 한계를 극복한다.

ABSTRACT

Let $\sigma(n)$ denote the sum of the positive divisors of $n$. We prove that for any positive integer $k$, there is a number $m$ for which the equation $\sigma(x)=m$ has exactly $k$ solutions, settling a conjecture of Sierpi\'nski from 1955. Additionally, it is shown that for every positive even $k$, there is a number $m$ for which the equation $\phi(x)=m$ has exactly $k$ solutions, where $\phi$ is Euler's function, making progress toward another conjecture of Sierpi\'nski from 1955.

연구 동기 및 목표

• 모든 주어진 k에 대해 σ(x) = m과 φ(x) = m의 해의 개수에 관한 시에르핏스의 추측을 해결하는 것.
• 모든 k ≥ 1에 대해 σ(x) = m이 정확히 k개의 해를 가지는 해의 존재성을 조건 없이 확립하는 것.
• 모든 짝수 k에 대해, φ(x) = m이 정확히 k개의 해를 가지는 m이 존재함을 보이며, 거의 소수의 새로운 응용을 제시하는 것.
• 이전 연구의 귀납적 프레임워크를 필터 이론적 기법과 융합하여 φ(x) = m의 경우를 다루는 것.

제안 방법

• σ(x) = m과 φ(x) = m의 해의 개수를 제어하기 위해 곱셈적 조건과 소수 조건을 만족하는 큰 소수의 특수 집합(pi,j)을 구성하는 것.
• 선형 필터와 보미에리–비노그라도프 정리를 적용하여, (s−a)/2가 큰 소수 인수를 가진 거의 소수인 소수 s의 밀도에 하한을 설정하는 것.
• 요건을 만족하는 유리한 소수 튜플의 수를 추정하기 위해 헬더 부등식과 코시-슈바르츠 부등식을 사용하는 것.
• 변수의 곱셈적 구조에 기반하여, 소수 조건을 위반하는 튜플의 수를 제어하기 위해 보조정리 4를 활용하는 것.
• 집합 Pj와 Jj를 통한 재귀적 세기 전략을 도입하여, 요구 조건을 만족하는 유효한 구성의 수를 추정하는 것.
• B(1) = 1(즉, σ(x) = 1은 정확히 하나의 해를 가짐)라는 사실을 σ(x) = m의 구성에서 중요한 기초점으로 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 k ≥ 1에 대해, σ(x) = m이 정확히 k개의 해를 가지는 수 m이 존재하는가?
• RQ2 모든 짝수 k에 대해, φ(x) = m이 정확히 k개의 해를 가지는 수 m이 존재하는가?
• RQ3 Hypothesis H나 딕슨의 추측과 같은 증명되지 않은 가정에 의존하지 않고, 필터 방법을 사용하여 시에르핏스의 추측을 조건 없이 증명할 수 있는가?
• RQ4 거의 소수 이론을 효과적으로 활용하여 주어진 해의 개수를 갖는 곱셈적 산술 함수의 해를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 k ≥ 1에 대해, σ(x) = m이 정확히 k개의 해를 가지는 수 m이 존재함을 증명하여, 추측 2를 조건 없이 해결함.
• 모든 짝수 k에 대해, φ(x) = m이 정확히 k개의 해를 가지는 수 m이 존재함을 보이며, 추측 1의 짝수 케이스를 확립함.
• 레미마 1 또는 레미마 2의 조건을 만족하는 2r-튜플 (pi,j)의 수는 ≫ xr / (log x)^{5r−2} 이하로 하한이 보장되어, 필요한 소수 구성의 존재를 보장함.
• 소수 조건과 합성 조건을 선형 형식에 적용함으로써, x를 나눌 수 있는 소수의 범위를 제한함으로써 σ(x) = m에 대한 해를 성공적으로 구성함.
• 증명은 B(1) = 1라는 사실에 크게 의존하며, 이는 σ 함수의 귀납적 구성에서 핵심 기초점이 됨.
• 모든 짝수 k에 대해 φ(x) = m이 정확히 k개의 해를 가지는 해의 존재가 확립되었으며, 향후 논문에서 정교화된 필터 기법을 사용하여 k ≥ 2인 모든 경우에 대한 전체 추측이 해결됨.