[논문 리뷰] On two dimensional weight two odd representations of totally real fields

Andrew Snowden|ArXiv.org|2009. 05. 26.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 전체 실수 체 위의 홀수, 무게 2, 두 차원의 p진 갈루아 표현에 대해 모듈러성 상승 정리와 잠재적 모듈러성 정리를 확립한다. Kisin, Taylor, Khare-Wintenberger의 결과를 확장하며, 특히 어떤 자리에서 무분해 또는 비분해 가능한 표현은 GL₂-형 아벨 다양체에서 유래됨을 증명함으로써 Fontaine-Mazur 추측의 새로운 케이스를 입증한다.

ABSTRACT

We say that a two dimensional p-adic Galois representation of a number field F is weight two if it is de Rham with Hodge-Tate weights 0 and -1 equally distributed at each place above p; for example, the Tate module of an elliptic curve has this property. The purpose of this paper is to establish a variety of results concerning odd weight two representations of totally real fields in as great a generality as we are able. Most of these results are improvements upon existing results. Three of our main results are as follows. (1) We prove a modularity lifting theorem for odd weight two representations, extending a theorem of Kisin to include representations which are not potentially crystalline. (2) We show that essentially any odd weight two representation is potentially modular, following the ideas of Taylor. (3) We show that one can lift essentially any odd residual representation to a minimally ramified weight two p-adic representation, using some ideas of Khare-Wintenberger. As an application of these results we show that if rho is a sufficiently irreducible odd weight two p-adic representation of a totally real field F and either F has odd degree or rho is indecomposable at some finite place away from p then rho occurs as the Tate module of a GL_2-type abelian variety. This establishes some new cases of the Fontaine-Mazur conjecture.

연구 동기 및 목표

• 잠재적으로 크리스탈린이 아닐 수도 있는 전체 실수 체의 홀수, 무게 2 표현으로의 모듈러성 상승 정리를 확장하는 것.
• mod p 환원에서 약간의 기약성 조건을 만족하는 거의 모든 홀수, 무게 2 표현에 대해 잠재적 모듈러성을 확립하는 것.
• 모든 충분히 기약적인 홀수 잔여 표현이 최소로 분해되는 무게 2 p진 갈루아 표현으로 올라갈 수 있음을 보이는 것.
• 적당한 체 이론적 조건 또는 국소적으로 비분해 가능할 경우, 이러한 표현들이 GL₂-형 아벨 다양체의 테이트 모듈로 유래됨을 증명함으로써 Fontaine-Mazur 추측의 새로운 케이스를 검증하는 것.

제안 방법

• p 위의 자리에서 국소적 행동을 통제할 수 있는 올림을 구성하기 위해 갈루아 표현의 변형 이론을 사용한다.
• 변형 링에 대한 R = T 정리를 적용하여 갈루아 변형과 자동형 양식을 연결한다.
• 해결 가능성을 이용한 내림 기법을 사용하여, 확장의 차수가 홀수일 경우 갈루아 확장에서의 모듈러 형식을 기저 체로 내림한다.
• 기저 전환과 힐베르트 대칭 대입을 이용하여 짝수 차수의 체와 정수 제곱성을 보장하는 유한 자리에서의 정수 제곱성 조건을 확보한다.
• 일관된 체계와 L-함수 이론을 적용하여 관련 L-함수의 해석적 성질을 유도한다.
• 무게 1과 무게 2의 힐베르트 모듈러 형식 사이의 합동을 이용하여 원하는 성질을 갖는 올림을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈러성 상승 정리는 잠재적으로 크리스탈린이 아닐 수도 있는 홀수, 무게 2 갈루아 표현으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 전체 실수 체 위의 홀수, 무게 2 갈루아 표현이 어떤 조건에서 잠재적으로 모듈러적인가?
• RQ3 모든 충분히 기약적인 홀수 잔여 표현은 최소로 분해되는 무게 2 p진 갈루아 표현으로 올라갈 수 있는가?
• RQ4 홀수, 무게 2 갈루아 표현이 어떤 조건에서 GL₂-형 아벨 다양체의 테이트 모듈로 나타나는가?
• RQ5 무게 2 표현이 힐베르트 모듈러 특성형식과 관련이 있으며, 따라서 아벨 다양체에서 기인하는 데 필요한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 잠재적으로 크리스탈린이 아닐 수도 있는 홀수, 무게 2 표현에 대해 모듈러성 상승 정리를 증명하며, Kisin의 결과를 확장한다.
• F(ζp)에서 기약적인 mod p 환원을 갖는 모든 홀수, 무게 2 표현은 잠재적으로 모듈러적임을 입증한다. 즉, 유한한 기저 전환 후 모듈러가 된다.
• 모든 홀수, 기약적인 잔여 표현은 전체 실수 체 위에서 최소로 분해되는 무게 2 p진 갈루아 표현으로 올라간다.
• 기저 체의 차수가 홀수거나 어떤 유한 자리 v∤p 에서 표현이 비분해 가능할 경우, 표현은 GL₂-형 아벨 다양체의 테이트 모듈로 나타난다.
• 이러한 표현의 L-함수는 Re(s) > 3/2 에서 수렴하고, ℂ 상에서 유리형으로 확장되며, 예상되는 함수 방정식을 만족한다.
• 통제된 국소 유형을 갖는 올림을 구성하고, 합동을 이용해 최소성과 모듈러성을 보장함으로써 많은 경우에서 추가 가정이 필요 없음을 입증한다.