[논문 리뷰] On Two Measures of Distance between Fully-Labelled Trees

Giulia Bernardini, Paola Bonizzoni외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 13.

Data Management and Algorithms참고 문헌 41인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 완전히 레이블링된 루트 있는 트리 분석에서 두 개의 열린 문제를 해결한다: 두 동형 트리 간의 순열 거리 계산은 다항로그 인자까지는 다항식적으로 등가이며, 밀도가 낮은 이분 그래프에서 최대 매칭을 찾는 것과 동치이다. 이를 통해 $\tilde{\rm O}(n^{4/3+o(1)})$-시간 알고리즘을 가능하게 한다; 또한, 구조적 가정 없이 임의의 트리 간의 재배열 거리에 대해 선형 시간 내에서 상수 요인 근사 알고리즘을 제시한다.

ABSTRACT

The last decade brought a significant increase in the amount of data and a variety of new inference methods for reconstructing the detailed evolutionary history of various cancers. This brings the need of designing efficient procedures for comparing rooted trees representing the evolution of mutations in tumor phylogenies. Bernardini et al. [CPM 2019] recently introduced a notion of the rearrangement distance for fully-labelled trees motivated by this necessity. This notion originates from two operations: one that permutes the labels of the nodes, the other that affects the topology of the tree. Each operation alone defines a distance that can be computed in polynomial time, while the actual rearrangement distance, that combines the two, was proven to be NP-hard. We answer two open question left unanswered by the previous work. First, what is the complexity of computing the permutation distance? Second, is there a constant-factor approximation algorithm for estimating the rearrangement distance between two arbitrary trees? We answer the first one by showing, via a two-way reduction, that calculating the permutation distance between two trees on $n$ nodes is equivalent, up to polylogarithmic factors, to finding the largest cardinality matching in a sparse bipartite graph. In particular, by plugging in the algorithm of Liu and Sidford [ArXiv 2020], we obtain an $O(n^{4/3+o(1)})$ time algorithm for computing the permutation distance between two trees on $n$ nodes. Then we answer the second question positively, and design a linear-time constant-factor approximation algorithm that does not need any assumption on the trees.

연구 동기 및 목표

• 동형 완전히 레이블링된 트리 간의 순열 거리 계산의 계산 복잡도를 다루기.
• 구조적 가정 없이 임의의 완전히 레이블링된 트리 간의 재배열 거리에 대해 상수 요인 근사 알고리즘 개발.
• Bernardini 등(2019년 CPM)이 종양 계통 발생에서 운영 거리에 대해 남긴 열린 질문들을 해결하기.
• 트리 순열 거리와 최대 이분 매칭 간의 연결 고리를 설정하여 향상된 실행 시간 상한을 도출하기.
• 이진 트리 가정 없이 종양 계통 발생을 비교하기 위한 실용적이고 효율적인 알고리즘 설계.

제안 방법

• 밀도가 낮은 이분 그래프에서 최대 카디널리티 매칭과 순열 거리 간의 이중 방향 감소를 구성하여, 다항로그 인자까지는 등가임을 보여준다.
• Liu와 Sidford(2020)가 제안한 현재까지 알려진 가장 빠른 최대 매칭 알고리즘을 활용하여 순열 거리에 대해 $\tilde{\rm O}(n^{4/3+o(1)})$ 시간 상한을 확보한다.
• 재배열 거리를 근사하기 위해 세 단계 알고리즘 설계: (1) 부모 매핑을 통한 노드 정렬, (2) 비모드 간선 커팅을 통한 모호한 부모 매핑 해결, (3) 매칭 기반 순열을 통한 충돌 나는 루트 매핑 해결.
• 다중집합 모드 탐지와 간선 커팅 휴리스틱을 사용하여 커팅 수를 최소화하면서 트리 간의 구조 일관성을 유지한다.
• 루트와 부모 관계를 $F_1^3$ 에서 $F_2$ 로 매핑하는 순열 $\pi$ 를 구성하여, $|\pi| \leq 4\tilde{d}(F_1^3, F_2)$ 를 확보한다. 이는 차수 제약이 있는 그래프 매칭을 통해 달성된다.
• 모든 커팅 수가 구성된 매칭 크기의 두 배 이내임을 증명하여 근사 비율이 유한함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 동형 완전히 레이블링된 트리 간의 순열 거리 계산의 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 구조적 가정 없이 임의의 완전히 레이블링된 트리 간의 재배열 거리에 대해 상수 요인 근사 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ3 순열 거리와 최대 이분 매칭 간에 연결 고리가 존재하여 향상된 실행 시간 상한을 도출할 수 있는가?
• RQ4 재배열 거리를 선형 시간 내에서 상수 요인 근사로 근사할 수 있는가?
• RQ5 근사 과정에서 트리 비교 시 모호한 부모 매핑을 효율적으로 어떻게 해결할 수 있는가?

주요 결과

• 두 동형 완전히 레이블링된 트리 간의 순열 거리는 이분 그래프에서 최대 매칭 문제로 환원함으로써 $\tilde{\rm O}(n^{4/3+o(1)})$ 시간 내에 계산 가능하다.
• 순열 거리 계산의 복잡도는 밀도가 낮은 이분 그래프에서 최대 매칭의 복잡도와 다항로그 인자까지는 동치이다.
• 이중 구조 제약 없이 임의의 완전히 레이블링된 트리에 대해 선형 시간 내에서 상수 요인 근사 알고리즘을 설계하였다.
• 근사 알고리즘은 연산 수가 최적 재배열 거리의 상수 요인 이내임을 보장하며, 이는 $\textsc{ALG}(4) \leq 4\tilde{d}(F_1^3, F_2)$ 라는 상한을 갖는다.
• 알고리즘의 정당성은 구조 일관성을 유지하면서 필요한 연산 수를 최소화하는 커팅-퍼미테이션 단계의 연속적 시퀀스를 통해 입증된다.
• 최종 순열 연산은 필요한 매핑에 대해 차수 제약이 있는 그래프를 통해 구성되며, 최적 해에 비해 크기가 유한한 유효한 순열을 보장한다.