[논문 리뷰] On two new operators in fractional calculus and application

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 10.

Fractional Differential Equations Solutions인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ m\Psi $-Riemann-Liouville 및 $ m\Psi $-Hilfer 도함수를 기반으로 하여 새로운 분수적 적분 연산자인 $ m\Psi $-분수적 적분을 도입한다. 이 연산자의 유계성을 입증하고, Mittag-Leffler 함수 및 비선형 $ \Psi $-분수적 Volterra 적분 방정식에 적용하여 $ \beta $-거리 함수를 활용해 유일성을 증명한다.

ABSTRACT

Motivated by the ${ m \Psi}$-Riemann-Liouville $({ m \Psi-RL})$ fractional derivative and by the ${ m \Psi}$-Hilfer $({ m \Psi-H})$ fractional derivative, we introduced a new fractional operator the so-called $ m\Psi-$fractional integral. We present some important results by means of theorems and in particular, that the $ m\Psi-$fractional integration operator is limited. In this sense, we discuss some examples, in particular, involving the Mittag-Leffler $({ m M-L})$ function, of paramount importance in the solution of population growth problem, as approached. On the other hand, we realize a brief discussion on the uniqueness of nonlinear $\Psi$-fractional Volterra integral equation (${ m VIE}$) using $\beta-$distance functions.

연구 동기 및 목표

• 기존의 $ m\Psi $-Riemann-Liouville 및 $ m\Psi $-Hilfer 도함수를 기반으로 하여 새로운 분수적 적분 연산자인 $ m\Psi $-분수적 적분을 도입한다.
• $ m\Psi $-분수적 적분의 기본 성질, 특히 그 유계성을 확립한다.
• Mittag-Leffler 함수를 통한 인구 증가 문제 해결에 있어 이 연산자의 응용을 보여준다.
• 메트릭 공간 설정에서 $ \beta $-거리 함수를 사용하여 비선형 $ \Psi $-분수적 Volterra 적분 방정식의 해의 유일성에 대해 분석한다.

제안 방법

• $ m\Psi $-분수적 적분은 $ m\Psi $-프레임워크 하에서 기존 분수적 도함수의 일반화로서 정의된다.
• 이론적 분석을 통해 $ m\Psi $-분수적 적분 연산자가 유계임을 증명하기 위해 정리들을 활용한다.
• Mittag-Leffler 함수는 인구 증가 모델링에 있어 이 연산자의 적용을 설명하는 핵심 예시로 사용된다.
• 메트릭 공간 설정에서 $ \beta $-거리 함수를 사용하여 비선형 $ \Psi $-분수적 Volterra 적분 방정식의 해의 유일성에 대해 연구한다.
• 기존의 분수적 미적분 도구들이 통합된 $ m\Psi $-연산자 구조에 기반한 통합적 프레임워크를 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $ m\Psi $-미적분 프레임워크 내에서 새로운 분수적 적분 연산자를 정의할 수 있는가?
• RQ2 제안된 $ m\Psi $-분수적 적분 연산자의 유계성 성질은 무엇인가?
• RQ3 $ m\Psi $-분수적 적분은 인구 역학에서 Mittag-Leffler 함수에 어떻게 적용되는가?
• RQ4 $ \beta $-거리 함수는 비선형 $ \Psi $-분수적 Volterra 적분 방정식의 해의 유일성을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• $ m\Psi $-분수적 적분 연산자가 유계임이 입증되어 응용 분야에서 안정성과 수렴성을 보장한다.
• Mittag-Leffler 함수는 새로운 연산자 하에서 인구 증가 모델의 중심적 구성 요소로 나타난다.
• $ m\Psi $-분수적 적분이 Mittag-Leffler 함수에 적용될 때, 이는 실제 동적 시스템에 대한 그 중요성을 보여준다.
• 고정점 프레임워크에서 $ \beta $-거리 함수를 사용하여 비선형 $ \Psi $-분수적 Volterra 적분 방정식의 해의 유일성이 확립된다.