[논문 리뷰] On two problems concerning topological centers

Eli Glasner|arXiv (Cornell University)|2007. 10. 15.

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한 줄 요약

이 논문은 위상동역학에서 위상 중심에 관한 두 문제를 해결한다: 첫째, 무한 이산군 Γ의 Čech-Stone 콪팩티피케이션의 잔여부분에 속하는 임의의 원소에 대한 좌측 곱셈이 Borel 측정 가능하지 않음을 증명하며, 이는 자유 초필터의 비측정 가능성에 기반한다. 둘째, 정수 ℤ의 보편 거리적 콱팩티피케이션 D에 대해, D의 위상 중심이 그 대수적 중심과 ℤ의 D 속 표준 이미지와 일치함을 보인다.

ABSTRACT

Let G be an infinite discrete group and bG its Cech-Stone compactification. Using the well known fact that a free ultrafilter on an infinite set is nonmeasurable, we show that for each element p of the remainder bG G, left multiplication L_p:bG o bG is not Borel measurable. Next assume that G is abelian. Let D \subset \ell^\infty(G)$ denote the subalgebra of distal functions on G and let G^D denote the corresponding universal distal (right topological group) compactification of G. Our second result is that the topological center of G^D (i.e. the set of p in G^D for which L_p:G^D o G^D is a continuous map) is the same as the algebraic center and that for G=Z (the group of integers) this center coincides with the canonical image of G in G^D.

연구 동기 및 목표

• Michael Megrelishvili의 문제를 해결한다: βΓ의 잔여부분에 속하는 어떤 원소 p에 대해 좌측 곱셈 맵 Lₚ가 Baire 클래스 1인지 여부를 규명하는 것.
• Mahmoud Filali의 문제를 해결한다: 아벨 군에 대해 보편 거리적 Ellis 군 D(Γ)의 위상 중심을 특정하는 것.
• Γ = ℤ일 때, D의 위상 중심이 대수적 중심과 ℤ의 D 속 표준 이미지와 일치함을 증명하는 것.
• 측도론적 추론을 통해 βΓ에서 좌측 곱셈 맵의 비-Borel 측정 가능성에 대한 엄밀한 정당화를 제공하는 것.
• Theorem 2.1의 원래 증명에서의 간극을 메우기 위해, 연속 전단사 사상에 의한 Borel 집합의 보편 측정 가능성에 관한 보조정리를 증명하는 것.

제안 방법

• 무한 집합 위의 자유 초필터가 {0,1}^Γ 위의 곱측도 하에서 비측정 가능하다는 잘 알려진 사실을 사용한다.
• ψ̂는 βΓ로의 궤도 사상의 연장이며, φ = π₀∘ψ̂∘Lₚ 라는 맵을 구성하고, 1의 역상이 Borel 집합임을 분석한다.
• 다이나믹 시스템 (Ω, Γ)의 엔veloping 세미군집과 βΓ를 동일시하는 데 의존한다. 여기서 Ω = {0,1}^Γ이다.
• 역할 J(ω)(γ) = ω(γ⁻¹)을 통한 쌍대성 원리를 적용하여, 역상 집합을 초필터 p와 연결한다.
• 측도론적 보조정리를 활용하여, Borel 집합의 연속 전단사 사상에 의한 상이 Borel이면 보편 측정 가능할 것이며, 이는 자유 초필터의 비측정 가능성과 모순됨을 보인다.
• 거리적 시스템의 경우, ℤ의 보편 거리적 콱팩티피케이션 D의 구조를 이용하고, 연속적인 좌측 곱셈을 유도하는 것은 오직 ℤ 자체의 원소들뿐임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 βΓ ∖ Γ에 속하는 어떤 원소 p에 대해 좌측 곱셈 맵 Lₚ: βΓ → βΓ가 Borel 측정 가능한가?
• RQ2 아벨 이산군 Γ에 대해 보편 거리적 Ellis 군 D(Γ)의 위상 중심은 무엇인가?
• RQ3 D(ℤ)의 위상 중심이 대수적 중심과 ℤ의 표준 이미지와 일치하는가?
• RQ4 βΓ가 폴란드 공간이 아니므로, βΓ ∖ Γ에 속하는 p에 대해 Lₚ의 비-Borel 측정 가능성은 엄밀하게 증명할 수 있는가?
• RQ5 만약 전역 이미지 f(B)가 콜모고로프 집합 C로의 연속 전단사 사상 f: X → C에 대해 B = f⁻¹(f(B))를 만족하면, Borel 집합 B의 이미지 f(B)는 보편 측정 가능한가?

주요 결과

• 모든 무한 이산군 Γ에 대해, βΓ ∖ Γ에 속하는 임의의 원소 p에 대한 좌측 곱셈은 곱측도 하에서 해당 초필터가 비측정 가능하므로 Borel 측정 가능하지 않다.
• 정수 ℤ의 보편 거리적 콱팩티피케이션 D의 위상 중심은 정확히 ℤ의 D 속 표준 이미지이며, 이 집합은 D의 대수적 중심과도 일치한다.
• Borel 집합 B ⊂ X가 연속 전단사 사상 f: X → C(콜모고로프 집합)에 대해 B = f⁻¹(f(B))를 만족하면 f(B)는 보편 측정 가능하다는 보조정리를 통해 비-Borel 측정 가능성의 증명이 완성된다.
• 무한 집합 위의 자유 초필터의 비측정 가능성은 그 특성 함수 χ에 의한 상이 {0,1}^Γ에서 Borel가 아니므로, Lₚ는 Borel 측정 가능하지 않다.
• φ = π₀∘ψ̂∘Lₚ의 구성과 그 역상 Q를 통해 Lₚ⁻¹({q ∈ βΓ : (qω₀)(e) = 1})가 Borel가 아니며, 이에 따라 결론이 도출된다.
• 이 결과는 아벨 군의 경우로 확장되며, D(Γ)의 위상 중심은 대수적 중심과 일치하고, ℤ의 경우 ℤ의 D 속 이미지와 일치한다.