[논문 리뷰] On Ulam type stability for nonlinear implicit fractional differential equations

D. B. Dhaigude, Sandeep P. Bhairat|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 24.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 반복 근사법을 사용하여 비선형 은닉 분수미분방정식에 대해 존재성, 유일성 및 네 가지 유형의 울람 유형 안정성(Hyers-Ulam, 일반화된 울람-하이어스, $E_{\alpha}$-울람-하이어스, $E_{\alpha}$-울람-하이어스-라시아스)을 확립한다. 주요 기여는 적절한 리프시츠 조건 하에서 적분 부등식과 미팅-레플러 함수를 활용해 안정성을 입증한 것으로, $\alpha = \frac{5}{2}$인 구체적인 예시를 통해 $[1,e]$에서 검증되었다.

ABSTRACT

In present paper, we establish sufficient conditions for existence and stability of solutions for system of nonlinear implicit fractional differential equations. The main techniques are based on method of successive approximations. Finally, an illustrative example is given to show the applicability of our theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 카푸토-하다마르 도함수를 갖는 비선형 은닉 분수미분방정식계에 대해 해의 존재성과 유일성을 보장하는 충분조건을 확립하기 위해.
• 이러한 방정식에 대해 네 가지 다른 유형의 울람 유형 안정성—Hyers-Ulam, 일반화된 울람-하이어스, $E_{\alpha}$-울람-하이어스, $E_{\alpha}$-울람-하이어스-라시아스—을 조사하기 위해.
• 안정성 결과를 도출하기 위해 반복 근사법을 핵심 분석 기법으로 적용하기 위해.
• 제안된 안정성 기준의 적용 가능성을 보여주는 실제 예를 통해 이론적 결과를 검증하기 위해.

제안 방법

• 은닉 분수미분방정식의 해로 수렴하는 함수 수열을 구성하기 위해 반복 근사법을 활용한다.
• 로그 기반 커널과 $\delta^n = (t\frac{d}{dt})^n$ 연산자를 사용해 정의된 순서 $\alpha \in (m-1, m]$인 카푸토-하다마르 도함수를 적용한다.
• 해의 차이를 유계화하고 안정성 한계를 확립하기 위해 미팅-레플러 함수 $E_{\alpha}(z)$를 포함하는 적분 부등식을 적용한다.
• $E_{\alpha}$-함수와 매개변수 $\theta = \frac{M}{1-N}$을 사용해 안정성 추정치를 유도한다. 여기서 $M$과 $N$은 리프시츠 상수이다.
• 변동 가능한 한계를 갖는 $E_{\alpha}$-울람-하이어스-라시아스 안정성 분석을 위해 가중치 함수 $\Phi(t) = C E_{\alpha}((\log t)^\alpha)$를 도입한다.
• 분수적 헤다마르 적분과 그 성질을 사용해 미분방정식을 분석하기 위해 등가적인 적분 형태로 변환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카푸토-하다마르 도함수를 갖는 비선형 은닉 분수미분방정식계에 대해 해가 존재하고 유일하게 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 고정점 정리 대신 반복 근사법을 사용하여 이러한 방정식에 대해 울람 유형 안정성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 Hyers-Ulam, 일반화된, $E_{\alpha}$-울람-하이어스, $E_{\alpha}$-울람-하이어스-라시아스라는 네 가지 울람 유형 안정성이 은닉 분수방정식에 어떻게 적용되는가?
• RQ4 각 안정성 유형 하에서 근사해와 정확해 사이의 근사 오차에 대한 정량적 한계는 무엇인가?
• RQ5 가중치 함수 $\Phi(t)$의 선택이 $E_{\alpha}$-울람-하이어스-라시아스 안정성 조건에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 구간 $[1,e]$에서 순서 $\alpha = \frac{5}{2}$인 문제 (33)는 리프시츠 조건을 만족하며, $M = \log(2+e) > 0$ 및 $N = \frac{1}{e^2} < 1$ 이므로 유일한 해를 갖는다.
• 해는 $||y(t) - x(t)|| \leq \left(\frac{E_{\frac{5}{2}}(\theta) - 1}{\theta}\right)\epsilon$ 이라는 bound를 갖는다. 여기서 $\theta = \frac{e^2 \log(2+e)}{e^2 - 1} \approx 0.779$ 이다.
• 해는 $\psi(0) = 0$ 이며 $\psi(\epsilon) = \frac{E_{\frac{5}{2}}(\theta) - 1}{\theta}\epsilon$ 이므로 일반화된 울람-하이어스 안정성을 갖는다.
• 해는 $||y(t) - x(t)|| \leq \frac{1}{\theta} E_{\frac{5}{2}}(\theta)$ 라는 bound를 갖는다. 이는 $\epsilon$과 무관하게 성립한다.
• 조건 $||\mathfrak{D}_{1}^{\frac{5}{2}}y(t) - f(t,y(t),\mathfrak{D}_{1}^{\frac{5}{2}}y(t))|| \leq \epsilon \Phi(t)$ 하에서 $\Phi(t) = C E_{\frac{5}{2}}((\log t)^{\frac{5}{2}})$ 이면, $||y(t) - x(t)|| \leq \epsilon \frac{1}{1 - \theta} \Phi(t)$ 라는 결과를 얻는다.
• 해는 추론 3에 의해 일반화된 $E_{\frac{5}{2}}$-울람-하이어스-라시아스 안정성을 갖는다. 이 경우 bound는 $||y(t) - x(t)|| \leq \epsilon \frac{2}{1 - \theta} \Phi(t) E_{\frac{5}{2}}((\log t)^{\frac{5}{2}})$ 이다.