[논문 리뷰] On unified preserving properties of kinetic schemes

Zhaoli Guo, Jiequan Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 11.

Gas Dynamics and Kinetic Theory참고 문헌 57인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 점점 가까워지는 연속체 근사에서 운동학적 방법의 점점 정확한 정도를 평가하기 위한 새로운 프레임워크로 통합 유지(UP) 성질을 도입한다. 이는 점근적 유지(AP) 개념을 넘어서는 것이다. 수정된 방정식 분석과 찰프만-엔스코그 전개를 조합하여, UP 차수는 운동학적, 유체역학적, 수치적 척도 간의 상호작용에 따라 달라지며, DUGKS와 같은 방법은 2차 UP를 달성하는 반면, CLR과 같은 다른 방법들은 경계 재구성에서 충돌 처리가 부족하여 실패함을 보여준다.

ABSTRACT

The kinetic theory provides a physical basis for developing multiscal methods for gas flows covering a wide range of flow regimes. A particular challenge for kinetic schemes is whether they can capture the correct hydrodynamic behaviors of the system in the continuum regime (i.e., as the Knudsen number $ε\ll 1$ ) without enforcing kinetic scale resolution. At the current stage, {the main approach to analyze such a property is the asymptotic preserving (AP) concept, which aims to show whether a kinetic scheme reduces to a solver for the hydrodynamic equations as $ε o 0$, such as the shock capturing scheme for the Euler equations. However, the detailed asymptotic properties of the kinetic scheme are indistinguishable when $ε$ is small but finite under the AP framework}. In order to distinguish different characteristics of kinetic schemes, in this paper we introduce the concept of unified preserving (UP) aiming at assessing asmyptotic orders of a kinetic scheme by employing the modified equation approach and Chapman-Enskon analysis. It is shown that the UP properties of a kinetic scheme generally depend on the spatial/temporal accuracy and closely on the inter-connections among the three scales (kinetic scale, numerical scale, and hydrodynamic scale) and their corresponding coupled dynamics. Specifically, the numerical resolution and specific discretization of particle transport and collision determine the flow physics of the scheme in different regimes, especially in the near continuum limit. As two examples, the UP methodology is applied to analyze the discrete unified gas-kinetic scheme and a second-order implicit-explicit Runge-Kutta scheme in their asymptotic behaviors in the continuum limit.

연구 동기 및 목표

• Knudsen 수 ε가 작지만 유한할 때 점근적 유지(AP) 프레임워크가 운동학적 방법의 점근적 행동에서 미세한 차이를 구분하지 못하는 한계를 해결하기 위해.
• 유체역학 영역에서 운동학적 방법의 점근적 정확도의 차수를 포착할 수 있는 더 정교한 분석 도구를 개발하기 위해.
• 수치적 해상도와 입자 이동 및 충돌의 이산화가 near-continuum 근사에서 정확한 유체역학 물리 법칙을 복원하는 데 방법이 어떻게 영향을 미치는지 명확히 하기 위해.
• 운동학적 스케일 해상도가 필요 없이 표준 수치적 해상도에서 나비에-스토크스 행동을 정확히 캡처할 수 있는지 평가하기 위한 체계적인 방법을 수립하기 위해.

제안 방법

• 점근적 일致성 외에 점근적 차수에 중점을 두어 AP 개념의 개선으로 통합 유지(UP) 성질을 제안한다.
• 수정된 방정식 접근법을 적용하여 이산 운동학적 방법에서 주요 절단 오차를 유도하고, 유체역학 복원에 영향을 주는 항을 식별한다.
• 2차까지 찰프만-엔스코그 전개를 사용하여 유체역학 모멘트를 추출하고, 오일러 및 나비에-스토크스 방정식 복원의 정확도 차수를 평가한다.
• 충돌 항이 세포 경계 분포 함수 재구성에서 수행하는 역할을 분석하여, 충돌 효과를 간과할 경우 고차수 정확도를 상실하게 됨을 보여준다.
• 다양한 메쉬와 시간 단계 해상도에서 DUGKS와 1차 CLR 방법을 비교하기 위해 각 방법의 수정된 방정식을 유도하고 UP 차수를 평가한다.
• 연속체 근사에서 점근적 행동을 연구하기 위해 스케일 가정 Δt = O(ε^α) 및 Δx = O(ε^β) (0.5 < α, β < 1)을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 AP 프레임워크만으로 연속체 영역에서 서로 다른 점근적 차수를 가진 운동학적 방법을 구분할 수 있는가?
• RQ2 Knudsen 수 ε가 작지만 유한할 때 운동학적 방법의 점근적 차수는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 운동학적, 유체역학적, 수치적 척도 간의 상호작용은 유체역학 방정식 복원에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 어떤 방법들은 중간 해상도에서도 나비에-스토크스 해를 캡처하지 못하는가? 그리고 경계 재구성에서 충돌 처리의 역할은 무엇인가?
• RQ5 어떤 조건에서일 때 방법이 유체역학 한계에서 2차 UP 정확도를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 통합 유지(UP) 성질은 AP 개념보다 더 정교한 점근적 정확도 특성화를 제공하며, 유체역학 방정식으로 수렴하는 속도가 다른 방법들 간의 차이를 명확히 구분할 수 있다.
• DUGKS 방법은 2차 UP를 달성한다. 이는 표준 수치적 해상도(Δt = O(ε^α), Δx = O(ε^β), 0.5 < α, β < 1)에서 나비에-스토크스 행동을 정확히 복원함을 의미한다.
• 1차 CLR 방법은 경계 재구성에서 충돌 효과가 없기 때문에 나비에-스토크스 해를 캡처하지 못하며, 이로 인해 오직 1차 UP에 그친다.
• 2차 UP를 달성하려면 시간 단계가 운동학적 시간 스케일을 해상해야 한다(Δt = o(ε)) — 이는 방법이 운동학적 스케일 해상도 없이 진정으로 다스케일이 될 수 없음을 의미한다.
• 분석 결과, 고차수 점근적 정확도를 달성하려면 세포 경계 분포 함수 재구성에 충돌 효과를 포함시켜야 한다는 것이 확인되었다.
• 수정된 방정식 분석은 CLR 방법에서 시간 이산화로 인한 항 O(ε^{1+α})가 2차 찰프만-엔스코그 계수 f_h^{(2)}의 결정을 방해함을 드러내어, 2차 정확도 상실을 초래한다.