[논문 리뷰] On uniform exponential ergodicity of Markovian multiclass many-server queues in the Halfin-Whitt regime

Ari Arapostathis, Hassan Hmedi외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 09.

Advanced Queuing Theory Analysis참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 하프린-유프(_HALFIN-WHITT ) 영역에서 마르코프성 다중클래스 다수서버 큐에 대해 통합 리아푸노프 함수 접근법을 사용하여 균일한 지수적 에르고딕성을 확립한다. 양의 여유 용량과 일반적인 워크-컨서빙 마르코프 스케줄링 정책 하에서, 확산 스케일링된 큐잉 과정은 지수적 속도로 정상분포로 수렴하며, 이에 대응하는 불변 측도는 유실률에 따라 균일한 지수적 尾 또는 초구형 꼬리 성질을 갖는다.

ABSTRACT

We study ergodic properties of Markovian multiclass many-server queues which are uniform over scheduling policies, as well as the size n of the system. The system is heavily loaded in the Halfin-Whitt regime, and the scheduling policies are work-conserving and preemptive. We provide a unified approach via a Lyapunov function method that establishes Foster-Lyapunov equations for both the limiting diffusion and the prelimit diffusion-scaled queueing processes simultaneously. We first study the limiting controlled diffusion, and we show that if the spare capacity (safety staffing) parameter is positive, then the diffusion is exponentially ergodic uniformly over all stationary Markov controls, and the invariant probability measures have uniform exponential tails. This result is sharp, since when there is no abandonment and the spare capacity parameter is negative, then the controlled diffusion is transient under any Markov control. In addition, we show that if all the abandonment rates are positive, the invariant probability measures have sub-Gaussian tails, regardless whether the spare capacity parameter is positive or negative. Using the above results, we proceed to establish the corresponding ergodic properties for the diffusion-scaled queueing processes. In addition to providing a simpler proof of the results in Gamarnik and Stolyar [Queueing Syst (2012) 71:25-51], we extend these results to the multiclass models with renewal arrival processes, albeit under the assumption that the mean residual life functions are bounded. For the Markovian model with Poisson arrivals, we obtain stronger results and show that the convergence to the stationary distribution is at an exponential rate uniformly over all work-conserving stationary Markov scheduling policies.

연구 동기 및 목표

• 하프린-유프 영역에서 모든 워크-컨서빙 마르코프 스케줄링 정책에 대해 확산 스케일링된 다중클래스 다수서버 큐의 균일한 지수적 에르고딕성을 확립하는 것.
• 제한 전 및 극한 확산 과정에 대한 수렴 속도와 불변 측도의 꼬리 행동에 관한 미해결 문제를 해결하는 것.
• 제한 전 큐잉 과정과 그 극한 확산 한계에 동시에 적용 가능한 통합된 포스터-리아푸노프 프레임워크를 개발하는 것.
• 유실률과 여유 용량이 정적 분포의 꼬리 감쇠에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 유한 평균 잔여 수명 조건 하에서 포아송 도착 과정으로의 이전 결과를 확장하고, 포아송 도착의 경우 이를 강화하는 것.

제안 방법

• 작업량과 무용도 과정을 조합한 가중치가 부여되고 기울기가 기울어진 리아푸노프 함수를 구성하며, 조각별 선형 드리프트를 다루기 위해 스무딩 컷오프를 도입한다.
• 포스터-리아푸노프 기준을 극한 제어된 확산과 제한 전 확산 스케일링 과정에 동시에 적용한다.
• 양의 반직선과 음의 반직선에서의 역학을 포괄하기 위해 철저히 선택된 가중치와 기울임을 적용한 동일한 2차형 리아푸노프 함수를 사용한다.
• 확산 스케일링 과정의 생성자에 대해 포스터-리아푸노프 방정식을 유도하며, 상태의 L1-노름에 비례하는 음의 드리프트를 보여준다.
• 두 번째 도함수의 경계와 드리프트 부등식을 활용하여 모든 스케줄링 정책에 대해 균일한 지수적 에르고딕성을 보장한다.
• 조각별 옴스타인-울렌벡 과정과 조각별 선형 드리프트를 갖는 SDE의 결과를 활용하여 프레임워크의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하프린-유프 영역에서 모든 정적 마르코프 제어 하에서 극한 제어된 확산 과정은 지수적 에르고딕성을 갖는가?
• RQ2 유실률이 양수인지 0인지에 따라 불변 측도의 꼬리 점점이 어떻게 다를까?
• RQ3 한 개의 리아푸노프 함수 프레임워크로 제한 전 및 극한 확산 과정에 대해 균일한 지수적 에르고딕성을 동시에 확립할 수 있는가?
• RQ4 일반적인 워크-컨서빙 정책 하에서 확산 스케일링된 큐잉 과정의 정상분포로의 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ5 여유 용량 파라미터가 양수인지 음수인지에 따라 불변 분포의 꼬리 성질은 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 여유 용량 파라미터가 양수일 경우, 모든 정적 마르코프 제어에 대해 극한 제어된 확산 과정은 균일한 지수적 에르고딕성을 가지며, 이에 대응하는 불변 측도는 균일한 지수적 꼬리를 갖는다.
• 모든 유실률이 양수일 경우, 극한 확산 과정의 불변 측도는 여유 용량 파라미터의 부호에 관계없이 초구형 꼬리를 갖는다.
• 포아송 도착의 경우, 모든 워크-컨서빙 정적 마르코프 스케줄링 정책에 대해 확산 스케일링된 큐잉 과정의 정상분포로의 수렴 속도는 균일하게 지수적이다.
• 모든 계층에서 유실률이 양수일 경우, 충분히 큰 $n$에 대해 모든 $\eta > 0$ 에 대해 $\exp(\eta \|\hat{x}^{n}\|_1)$ 이 정상분포 하에서 적분 가능하다.
• 유실률이 없고 여유 용량 파라미터가 음수일 경우, 어떤 마르코프 스케줄링 정책하에서도 시스템은 비정상적이다. 이는 양의 여유 용량 조건의 날카로움을 보여준다.
• 제안된 리아푸노프 함수 구성은 제한 전 및 극한 과정을 통합적으로 다룰 수 있게 하며, 이전 접근법보다 더 단순하고 일반적인 증명을 가능하게 한다.