[논문 리뷰] On unipotent quotients and some A^1-contractible smooth schemes

Aravind Asok, Brent Doran|ArXiv.org|2007. 03. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 27인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비아핀 스킴의 유니포텐트 군 작용에 의한 몫이 아핀이 되는 조건을 안정성 조건과 코homological 소멸을 사용하여 규명한다. 특별히, 차원 $n \geq 4$에서 무한한 수의 스무스하고 서로 동형이 아닌, $\bbA^1$-수축 가능하며 엄밀히 준아핀인 다양체의 무한 가닥을 구성한다. 이들은 $\bbG_a$ 및 $SL_2$-불변량으로부터 유도된 명시적 방정식을 가진다. 이는 차원 6 이상에서 처음으로 이러한 예를 제공하며, 차원 4와 5에서는 무한히 많은 서로 동형이 아닌 예를 제공한다.

ABSTRACT

We study quotients of quasi-affine schemes by unipotent groups over fields of characteristic 0. To do this, we introduce a notion of stability which allows us to characterize exactly when a principal bundle quotient exists and, together with a cohomological vanishing criterion, to characterize whether or not the resulting quasi-affine quotient scheme is affine. We completely analyze the case of G_a-invariant hypersurfaces in a linear G_a-representation W; here the above characterizations admit simple geometric and algebraic interpretations. As an application, we produce arbitrary dimensional families of non-isomorphic smooth quasi-affine but not affine n-dimensional varieties (n \geq 6) that are contractible in the sense of A^1-homotopy theory. Indeed, existence follows without any computation; yet explicit defining equations for the varieties depend only on knowing some linear G_a- and SL_2- invariants, which, for a sufficiently large class, we provide. Similarly, we produce infinitely many non-isomorphic examples in dimensions 4 and 5. Over C, the analytic spaces underlying these varieties are non-isomorphic, non-Stein, topologically contractible and often diffeomorphic to C^n.

연구 동기 및 목표

• 비아핀 스킴의 유니포텐트 군 작용에 의한 몫이 아phin이 되는 조건을 특성 0에서 규명하는 것.
• 유니포텐트 군 작용 하에서 주요 배럴 몫의 존재를 보장하는 안정성 조건을 개발하는 것.
• 유니포텐트 및 $SL_2$-작용의 불변량을 사용하여 스무스하고 서로 동형이 아닌, $\bbA^1$-수축 가능하지만 아핀이 아닌 다양체의 명시적 구성.
• 모든 차원 $n \geq 4$에서 이러한 다양체가 존재함을 보이며, 차원 4와 5에서는 무한히 많은 서로 동형이 아닌 예가 존재하고, 차원 $n \geq 6$에서는 임의의 차원의 가닥이 존재함을 보이는 것.

제안 방법

• 비아핀 스킴 위에서 유니포텐트 군 작용에 대한 안정성 개념을 도입하여 주요 배럴 몫의 존재를 보장한다.
• van Est 스펙트럴 시퀀스를 적용하여 $U$-코homology와 ${\mathfrak{u}}$-코homology를 연결함으로써, 몫의 아핀성에 대한 코homological 기준을 도출한다.
• 아르틴 스택 몫 $[X/U]$를 사용하고, 스택 상에서 $U$-torsor의 자명성이 몫이 아핀 스킴임을 의미함을 보인다.
• 그로텐디크 스펙트럴 시퀀스를 활용하여 $H^1(U, \Gamma(X, \cO_X))$를 $H^1(\frak{u}, \Gamma(X, \cO_X))$로 식별함으로써, 군 코hom로와 리 대칭대수 코hom로의 연결을 확립한다.
• 내림정리 이론과 표현 가능성 이론을 활용하여, 스택 몫의 표현 가능한 단면이 존재하면 몫이 아핀 스킴임을 보인다.
• 선형 $\bbG_a$-표현에서의 $\bbG_a$-불변 히퍼면을 사용하여 명시적 예를 구성하며, 정의 방정식은 $\bbG_a$ 및 $SL_2$-불변량에 의해 결정된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비아핀 스킴의 유니포텐트 군 작용에 의한 몫이 아핀이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 스무스하고 서로 동형이 아닌, $\bbA^1$-수축 가능하지만 아phin이 아닌 다양체를 구성할 수 있으며, 만약 가능하면 어떤 차원에서 가능한가?
• RQ3 유니포텐트 및 $SL_2$-작용의 불변량으로부터 이러한 다양체의 명시적 정의 방정식을 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ4 특히 $H^1(U, \Gamma(X, \cO_X)) = 0$와 같은 코homological 소멸이 몫의 아핀성 보장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이러한 구성은 임의의 차원으로 일반화될 수 있으며, 무한히 많은 서로 동형이 아닌 예를 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 코homological 기준을 확립한다: $H^1(U, \Gamma(X, \cO_X)) = 0$이면 $H^1(\frak{u}, \Gamma(X, \cO_X)) = 0$이 되며, 이는 몫 $X/U$가 존재할 경우 아핀이 되기 위한 필요충분조건이다.
• $\bbG_a$-불변 히퍼면이 선형 $\bbG_a$-표현에 속해 있을 경우, 몫이 아phin이 되기 위한 필요충분조건은 리 대칭대수 $\frak{u}$에 대한 $\Gamma(X, \cO_X)$ 계수의 첫 번째 코homology가 소멸하는 것이다.
• 모든 $n \geq 6$에 대해, 서로 동형이 아닌 스무스하고 $\bbA^1$-수축 가능하며 엄밀히 준아핀인 $n$-fold의 임의의 차원 가닥을 구성하였으며, 이들은 $\bbG_a$ 및 $SL_2$-불변량으로부터 유도된 명시적 방정식을 가진다.
• 차원 4와 5에서는 무한히 많은 서로 동형이 아닌 예를 구성하였으며, $\bbC$ 위에서는 기저 해석적 공간이 서로 동형이 아니며, 슈테인이 아니며, 위상적으로 수축 가능하며, 일반적으로 $\bbC^n$과 미분동형이다.
• 스택 몫 $[X/U]$가 표현 가능한 단면을 가질 때이고, 뿐만 아니라 $H^1([X/U], \cO_{[X/U]}) = 0$이면, 이는 몫이 아핀 스킴임을 의미한다.
• $H^1(\frak{u}, k[X])$는 작용의 불변량이며, $H^1([X/U], U)$와 동형이므로 이러한 작용을 분류하는 코homological 불변량을 제공한다.