[논문 리뷰] On Unique Additive Representations of Positive Integers and Some Close Problems

Vladimir Shevelev|ArXiv.org|2008. 11. 03.

semigroups and automata theory참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모든 음이 아닌 정수를 $n = m_r(k) + r m_r(l)$ 형태로 유일하게 표현할 수 있는 모스어 수열 $\{m_r(n)\}$에 대한 명시적 공식과 재귀 관계를 제시하고, 관련 수열 $s_n^{(r)} = r m_r(n-1) + 1$를 연구하여 그 유일한 덧셈 표현 성질과 조세푸스-그뢰어 문제와의 연관성을 밝힌다. 주요 기여는 이러한 수열에 대한 닫힌 형태의 분해와 재귀 관계를 제시한 것으로, 덧셈 수론 및 조합론 분야에 응용 가능하다.

ABSTRACT

Let, for r>=2, (m_r(n)),n>=0, be Moser sequence such that every nonnegative integer is the unique sum of the form s_k+rs_l. In this article we give an explicit decomposition formulas of such form and an unexpectedly simple recursion relation for Moser's numbers. We also study interesting properties of the sequence (rm_r(n-1)+1),n>=1, and its connection with some important problems. In particular, in the case of r=2 this sequence is surprisingly connected with the numbers solving the combinatorial Josephus-Groer problem. We pose also some open questions.

연구 동기 및 목표

• 모스어 수열 $\{m_r(n)\}$에 대한 명시적 분해 공식을 유도하여, 정수를 $n = m_r(k) + r m_r(l)$ 형태로 유일하게 표현할 수 있도록 한다.
• 기존의 $r=2$에 대한 모스-드 브리쥐앙 수열을 일반화한 $m_r(n)$에 대한 단순한 재귀 관계를 확립한다.
• 수열 $s_n^{(r)} = r m_r(n-1) + 1$를 조사하여, $n \equiv 1 \pmod{r}$, $n \geq r+1$ 인 정수에 대해 $n = s_k^{(r)} + r s_l^{(r)}$ 형태로 유일한 덧셈 표현 성질을 보임을 보인다.
• 특히 $r=2$일 때 $s_n^{(2)}$와 조세푸스-그뢰어 문제 사이의 연관성을 탐구하여 조합론적 의미를 드러낸다.
• 관련 수열의 산술적 성질과 분포 성질(소수성, 합성수 밀도 등)을 조사하고, 덧셈 표현에 관한 열린 문제를 제기한다.

제안 방법

• 생성함수와 함수방정식의 사용: $m_r(n)$에 대해 $f(x)f(x^r) = \frac{1}{1-x}$, $s_n^{(r)}$에 대해 $f(x)f(x^r) = \frac{x^{r+1}}{1-x^r}$ 를 이용하여, 음이 아닌 테일러 계수를 가진 해석함수 공간 내에서 수열을 유일하게 정의한다.
• 명시적 공식 유도: $m_r(n) = \sum_{i \geq 0} \nu_i r^{2i}$, 여기서 $\nu_i$ 는 $n$ 의 $r$-진 전개 숫자이며, $s_n^{(r)} = 1 + \sum_{i \geq 0} \nu_i r^{2i+1}$, 여기서 $\nu_i$ 는 $n-1$ 의 $r$-진 전개 숫자이다.
• 디오판틴 방정식의 유일한 해를 확립: $m_r(k) + r m_r(l) = n$ 과 $s_k^{(r)} + r s_l^{(r)} = N$ 에 대해, 각각 $n$ 과 $N-1$ 의 $r$-진 전개 숫자 패턴으로부터 $k,l$ 를 재구성할 수 있음을 보임.
• 생성함수 항등식을 이용하여, $3a + 2bn$ 형태의 산술적 등차수열이 $s_k^{(2)}(a,b) + 2 s_l^{(2)}(a,b)$ 형태로 유일하게 표현 가능함을 구성한다.
• 정수 $N \equiv 1 \pmod{r}$, $r+1 \leq N \leq r^{2t+1}+1$ 와 $[1,r^t] \times [1,r^t]$ 내의 격자점 사이의 일대일 사상 정의. 이는 유일한 분해의 좌표 $k,l$ 를 통해 이루어진다.
• 기수 기반 재구성과 모듈로 산술(예: $4^k \equiv 1 \pmod{3}$)을 사용하여, 수열 $a^{(c)}(n) = 2m_2(n) + c$ 에서 무한히 많은 합성수가 존재함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모스어 수열 $m_r(n)$ 을 지배하는 명시적 공식과 재귀 관계는 무엇이며, 이는 $n = m_r(k) + r m_r(l)$ 형태의 유일한 덧셈 표현을 보장하는가?
• RQ2 수열 $s_n^{(r)} = r m_r(n-1) + 1$ 는 조세푸스-그뢰어 문제와 어떻게 관련되어 있으며, 특히 $r=2$ 일 때 어떻게 연결되는가?
• RQ3 모든 홀수 $c$ 에 대해 수열 $a^{(c)}(n) = 2m_2(n) + c$ 에서 무한히 많은 합성수가 존재하는가? 이는 소수 기반 덧셈 표현에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ4 모든 짝수 정수에 대해 유일한 이진 덧셈 표현을 허용하는 최소 수열 $\{t_n\}$ 은 무엇이며, 그 밀도는 얼마인가?
• RQ5 격자점 $[1,r^t] \times [1,r^t]$ 의 원소들을 어떻게 순열하면 유클리드 TSP 경로 길이를 최소화하거나 최대화할 수 있는가?

주요 결과

• 수열 $m_r(n)$ 은 명시적 공식 $m_r(n) = \sum_{i \geq 0} \nu_i r^{2i}$ 를 가진다. 여기서 $\nu_i$ 는 $n$ 의 $r$-진 전개 숫자이며, 이는 $n = m_r(k) + r m_r(l)$ 형태의 유일한 분해를 가능하게 하며, $k,l$ 는 $n$ 의 짝수 자릿수와 홀수 자릿수 숫자로부터 유도된다.
• 수열 $s_n^{(r)} = r m_r(n-1) + 1$ 는 $s_n^{(r)} = 1 + \sum_{i \geq 0} \nu_i r^{2i+1}$ 를 만족하며, $n-1$ 의 $r$-진 전개 숫자 $\nu_i$ 를 사용한다. 또한, 모든 $N \equiv 1 \pmod{r}$, $N \geq r+1$ 에 대해 $N = s_k^{(r)} + r s_l^{(r)}$ 형태의 유일한 표현이 존재한다.
• 특히 $r=2$ 일 때, 수열 $s_n^{(2)}$ 는 조세푸스-그뢰어 문제와 직접 연결되며, OEIS의 수열 A088442 및 A090569 와 일치한다.
• 수열 $a^{(c)}(n) = 2m_2(n) + c$ 는 임의의 홀수 $c$ 에 대해 무한히 많은 합성수를 포함하며, 이는 4진법 전개 숫자 패턴에 대한 모듈로 산술을 통해 증명된다.
• 수열 $\{t_n\}$ 은 $\{s_n(1,1)\}$ 과 $\{s_n(1,2)\}$ 를 병합하고 1을 두 번 반복하여 구성되며, 모든 짝수 $N$ 은 $N = t_k + t_l$ 형태로 표현 가능하다. 이 수열은 더 흐린 수열로는 모든 짝수를 유일하게 표현할 수 없으므로 최소성에 대해 추측된다.
• 정수 $N \equiv 1 \pmod{r}$, $r+1 \leq N \leq r^{2t+1}+1$ 와 격자점 $[1,r^t] \times [1,r^t]$ 사이의 사상은 분해 좌표 $k,l$ 를 통해 일대일이며, 총 $r^{2t}$ 개의 정수가 존재한다.