[논문 리뷰] On Uniqueness And Existence of Conformally Compact Einstein Metrics with Homogeneous Conformal Infinity

Gang Li|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 18.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $(2k+1)$-구에서 $\Sigma^{2k+1}$ 가 $\SigmaΥ(k+1)$-불변 메트릭을 지닌 경계에서의 경계 무한대를 갖는 비양의 곡률을 가진 등각적으로 컴acts한 에인슈타인(CCE) 메트릭의 존재성과 유일성을 확립한다. 지오데식 좌표 하에서 퇴화된 상미분방정식의 경계값 문제로의 환원과 연속성 방법을 사용하여, 경계 무한대가 원형 메트릭에 가까울 경우 이러한 CCE 메트릭이 등급변환을 제외한 유일함을 증명하며, 이는 이전의 $S^3$ 및 $S^{2k+1}$ 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper we show that for a generalized Berger metric $\hat{g}$ on $S^3$ close to the round metric, the conformally compact Einstein (CCE) manifold $(M, g)$ with $(S^3, [\hat{g}])$ as its conformal infinity is unique up to isometries. For the high-dimensional case, we show that if $\hat{g}$ is an $ ext{SU}(k+1)$-invariant metric on $S^{2k+1}$ for $k\geq1$, the non-positively curved CCE metric on the $(2k+1)$-ball $B_1(0)$ with $(S^{2k+1}, [\hat{g}])$ as its conformal infinity is unique up to isometries. In particular, since in \cite{LiQingShi}, we proved that if the Yamabe constant of the conformal infinity $Y(S^{2k+1}, [\hat{g}])$ is close to that of the round sphere then any CCE manifold filled in must be negatively curved and simply connected, therefore if $\hat{g}$ is an $ ext{SU}(k+1)$-invariant metric on $S^{2k+1}$ which is close to the round metric, the CCE metric filled in is unique up to isometries. Using the continuity method, we prove an existence result of the non-positively curved CCE metric with prescribed conformal infinity $(S^{2k+1}, [\hat{g}])$ when the metric $\hat{g}$ is $ ext{SU}(k+1)$-invariant.

연구 동기 및 목표

• 지정된 $\Sigma^{2k+1}$ 경계 무한대를 갖는 $(2k+1)$-구에서 비양의 곡률을 가진 등각적으로 컴acts한 에인슈타인(CCE) 메트릭의 유일성을 확립한다.
• 경계 무한대가 $\SigmaΥ(k+1)$-불변이면서 원형 메트릭에 가까운 경우 이러한 CCE 메트릭의 존재성을 증명한다.
• $S^3$에서의 베르거 메트릭에 대한 이전의 유일성 결과를 고차원 구 $S^{2k+1}$에서 $\SigmaΥ(k+1)$-불변 메트릭으로 확장한다.
• 원형 구의 얀베 상수에 가까운 경우, 임의의 CCE 메트릭 채움은 자동으로 단순연결되고 비양의 곡률을 가지며, 이는 유일성의 결과를 이끈다.
• 연속성 방법을 사용하여 $\lambda_0$에서 수렴하는 일련의 CCE 메트릭을 구성함으로써 존재성을 증명한다. 이는 $C^{k,\alpha}$ 위상에서의 컴팩턴스와 수렴성에 기반한다.

제안 방법

• 중심에서 경계로 향하는 반경 방향 지오데식선을 따라 지오데식 좌표에서 에인슈타인 방정식을 세 개의 두 번째 차수 퇴화 타입 타원형 상미분방정식 시스템으로 환원한다.
• 중심으로부터의 거리 $r$에 대해 $x = e^{-r}$인 지오데식 정의 함수를 사용하여, 경계 근처 및 중심에서의 분석에 적합한 형태로 메트릭을 변환한다.
• 연속성 방법을 적용하기 위해 $\lambda_j \to \lambda_0$가 되는 일련의 메트릭 $g^\lambda$를 고려하며, $\lambda=1$은 원형 메트릭에 해당한다.
• 자연스러운 지오데식 좌표와 지수 사상에 의한 게이지 고정 조건을 도입하여 $g^{\lambda_j}$ 수열의 균일 수렴성을 보장한다.
• $[0,1]$에서 ODE 해 $y_i^j(x)$와 그 도함수에 대한 균일한 $C^{2,\alpha}$ 및 $C^k$ 유계성을 확립하여, 아르ツ엘라-아스coli 정리와 타원형 정규성에 의해 수렴 가능성을 확보한다.
• 지점별 케이거-그로모프 위상에서 수열 $g^{\lambda_j}$의 컴팩턴스와 극한 메트릭의 해석적 성질을 이용하여 $\lambda_0$에서 해의 존재를 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $(2k+1)$-구에서 $\Sigma^{2k+1}$ 와 $\SigmaΥ(k+1)$-불변 경계 무한대를 갖는 CCE 메트릭은 등급변환을 제외한 유일한가?
• RQ2 연속성 방법을 사용하여 이러한 경계 무한대를 갖는 비양의 곡률 CCE 메트릭의 존재성을 증명할 수 있는가?
• RQ3 이전의 $S^3$에서의 유일성 결과는 $\SigmaΥ(k+1)$-불변 메트릭을 갖는 고차원 구 $S^{2k+1}$로 확장 가능한가?
• RQ4 얀베 상수가 원형 구의 값에 가까운 경우, CCE 채움이 단순연결되고 비양의 곡률을 가지는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 반경 방향 상미분방정식 형태를 통해 경계 무한대와 중심 근처에서 에인슈타인 방정식의 거동을 어떻게 제어할 수 있는가?

주요 결과

• $S^3$에서 원형 메트릭에 가까운 일반화된 베르거 메트릭 $\hat{g}$를 갖는 경우, 4-구에서의 CCE 메트릭은 등급변환을 제외한 유일하며, 페더슨과 그레고리-류의 구성과 일치한다.
• $S^{2k+1}$에서 원형 메트릭에 가까운 $\SigmaΥ(k+1)$-불변 메트릭 $\hat{g}$를 갖는 경우, $(2k+1)$-구에서의 비양의 곡률 CCE 메트릭은 등급변환을 제외한 유일하다.
• 연속성 방법은 $\Sigma^{2k+1}$와 $\SigmaΥ(k+1)$-불변 경계 무한대를 갖는 비양의 곡률 CCE 메트릭을 성공적으로 구성하며, $\lambda=1$에서 시작하여 $\lambda_0$까지 연장된다.
• $g^{\lambda_j}$ 수열은 $C^{k,\alpha}$ 위상에서 극한 메트릭 $g^{\lambda_0}$로 수렴하며, 이는 해석적이고 비양의 곡률을 갖는 CCE 메트릭이며 동일한 경계 무한대를 갖는다.
• $[0,1]$에서 ODE 해 $y_i^j(x)$의 도함수에 대한 균일한 유계성은 컴팩턴스를 보장하고 수렴하는 부분수열의 추출을 가능하게 하여 존재성을 증명한다.
• 극한 메트릭 $g^{\lambda_0}$는 $x=0$에서 해석적 전개를 가지며, 에인슈타인 방정식을 만족하며, $x^2g^{\lambda_0}$는 $C^{2,\alpha}$ 위상에서 경계까지 해석적이다.