[논문 리뷰] On Upward-Planar L-Drawings of Graphs

Patrizio Angelini, Steven Chaplick외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

Computational Geometry and Mesh Generation인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 수직 및 수평 세그먼트를 가진 L자형 폴리라인으로 이루어진 상향 평면 L-그림을 허용하는 평면 방향 비순환 그래프(DAG)의 특성을 제시한다. 이를 위해 그들은 이러한 그래프가 비톤성 st-순서가 있는 평면 st-그래프의 부분그래프여야 한다는 것을 보여준다. 저자들은 고정 또는 변동 가능한 매bedding 하에서 단일 소스 또는 단일 싱크 DAG, 특히 카티 및 이중연결성 있는 시리즈-패러럴 그래프에 대해 상향 평면 L-그림을 테스트하는 선형 시간 알고리즘을 개발하였다.

ABSTRACT

In an upward-planar L-drawing of a directed acyclic graph (DAG) each edge $e$ is represented as a polyline composed of a vertical segment with its lowest endpoint at the tail of $e$ and of a horizontal segment ending at the head of $e$. Distinct edges may overlap, but not cross. Recently, upward-planar L-drawings have been studied for $st$-graphs, i.e., planar DAGs with a single source $s$ and a single sink $t$ containing an edge directed from $s$ to $t$. It is known that a plane $st$-graph, i.e., an embedded $st$-graph in which the edge $(s,t)$ is incident to the outer face, admits an upward-planar L-drawing if and only if it admits a bitonic $st$-ordering, which can be tested in linear time. We study upward-planar L-drawings of DAGs that are not necessarily $st$-graphs. On the combinatorial side, we show that a plane DAG admits an upward-planar L-drawing if and only if it is a subgraph of a plane $st$-graph admitting a bitonic $st$-ordering. This allows us to show that not every tree with a fixed bimodal embedding admits an upward-planar L-drawing. Moreover, we prove that any acyclic cactus with a single source (or a single sink) admits an upward-planar L-drawing, which respects a given outerplanar embedding if there are no transitive edges. On the algorithmic side, we consider DAGs with a single source (or a single sink). We give linear-time testing algorithms for these DAGs in two cases: (i) when the drawing must respect a prescribed embedding and (ii) when no restriction is given on the embedding, but it is biconnected and series-parallel.

연구 동기 및 목표

• 평면 DAG 중에서 상향 평면 L-그림을 허용하는 그래프를 특성화하는 것.
• 고정된 이중모드 매bedding을 가진 트리가 이러한 그림을 허용하지 못하는 조건을 규명하는 것.
• 단일 소스 또는 단일 싱크 DAG에서 상향 평면 L-그림을 테스트하는 효율적인 알고리즘을 개발하는 것.
• 변동 가능한 매bedding 하에서 순환하지 않는 카티 및 이중연결성 있는 시리즈-패러럴 DAG로 결과를 확장하는 것.
• 일반 DAG에 대한 상향 평면 L-그림 테스팅의 복잡도 격차를 해결하는 것.

제안 방법

• 특성화 제안: 평면 DAG가 상향 평면 L-그림을 허용하는 것은 그 것이 비톤성 st-순서가 있는 평면 st-그래프의 부분그래프일 때에 한하여 성립한다.
• 순환하지 않는 카티에 대해 깊이 우선 탐색을 이용해 후위 순서 및 전위 순서 번호를 기반으로 x-좌표와 y-좌표를 할당한다.
• 시리즈-패러럴 구성요소에 대해 동적 프로그래밍을 적용하고, 극점 유형과 자유 플래그에 대한 제약 조건을 사용해 하위그래프 유형을 조합한다.
• 매bedding 선택과 호환성을 인코딩하기 위해 구성요소의 유형 체계(남쪽/북쪽 유형, 플래그)를 도입한다.
• 정규 표현식에 대한 매칭 알고리즘을 사용해 시리즈-패러럴 그래프 내 유효한 매bedding 순서를 검증한다.
• 선형 시간 테스팅을 위해 비톤성 st-순서를 핵심적인 구조적 성질로 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 평면 DAG가 상향 평면 L-그림을 허용하며, 이러한 그림을 위한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 고정된 이중모드 매bedding을 가진 모든 트리가 상향 평면 L-그림으로 그릴 수 있는가?
• RQ3 고정된 평면 매bedding 하에서 단일 소스 또는 단일 싱크 DAG에 대해 상향 평면 L-그림을 테스트하는 선형 시간 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 이중연결성 있는 시리즈-패러럴 DAG에서 변동 가능한 매bedding 설정 하에서 상향 평면 L-그림을 효율적으로 테스트할 수 있는가?
• RQ5 DAG의 어떤 구조적 성질(예: 카티, 시리즈-패러럴)이 이러한 그림의 존재를 보장하는가?

주요 결과

• 평면 DAG가 상향 평면 L-그림을 허용하는 것은 비톤성 st-순서가 있는 평면 st-그래프의 부분그래프일 때에 한하여 성립한다.
• 고정된 이중모드 매bedding을 가진 트리 중에서 상향 평면 L-그림을 허용하지 않는 것이 존재하며, 이는 잠재적인 일반화를 반박한다.
• 단일 소스 또는 싱크를 가진 순환하지 않는 카티는 DFS 기반 좌표 할당을 통해 상향 평면 L-그림을 허용한다.
• 단일 소스 또는 싱크를 가진 이중연결성 있는 시리즈-패러럴 DAG에서, 어떤 매bedding에서도 상향 평면 L-그림이 존재하는 것은 유효한 유형 조합이 존재할 때에 한하여 성립하며, 이는 선형 시간 내로 테스트 가능하다.
• 구성요소 유형과 자유 플래그를 사용한 알고리즘 프레임워크는 상수 시간 내의 유형 조합을 가능하게 하여 전체 복잡도를 선형 시간으로 유지한다.
• 일반적인 DAG(여러 개의 소스 및 싱크를 가진 경우)와 변동 가능한 매bedding 설정 하에서 일반적인 시리즈-패러럴 DAG에 대해서는 문제의 해결이 아직 열려 있다.