[논문 리뷰] On Utility Maximisation Under Model Uncertainty in Discrete-Time Markets

Miklós Rásonyi, Andrea M. Rodrigues|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 21.

Stochastic processes and financial applications인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 한 개의 무위험 자산과 유한 개의 위험 자산을 가진 이산 시간 시장에서 모델 불확실성 하에서 최적 포트폴리오 선택을 다룬다. 유용도 함수가 유계일 경우 최적 투자 전략의 존재성을 확립하고, 강화된 무아웃라이어 조건을 통해 이를 무한대 유용도로 확장한다. 이는 모든 가격 동역학이 가족 측도가 아닌 동일한 확률 공간 위에서 정의되는 새로운 프레임워크를 사용한다.

ABSTRACT

We study the problem of maximising terminal utility for an agent facing model uncertainty, in a frictionless discrete-time market with one safe asset and finitely many risky assets. We show that an optimal investment strategy exists if the utility function, defined either over the positive real line or over the whole real line, is bounded from above. We further find that the boundedness assumption can be dropped provided that we impose suitable integrability conditions, related to some strengthened form of no-arbitrage. These results are obtained in an alternative framework for model uncertainty, where all possible dynamics of the stock prices are represented by a collection of stochastic processes on the same filtered probability space, rather than by a family of probability measures.

연구 동기 및 목표

• 이월성, 거래비용 등 거래 제약 조건이 존재하는 이산 시간 금융 시장에서 모델 불확실성 하의 유용도 최적화 문제를 다루는 것.
• 모든 가능한 가격 동역학이 단일 필터링 확률 공간 위의 확률과정으로 표현되는 새로운 프레임워크를 개발하는 것. 이는 가족 측도 위에서 정의되는 기존 방식과 대비된다.
• 유용도 함수가 상한선이 있을 경우 최적 투자 전략의 존재성을 확립하고, 강화된 무아웃라이어 조건 하에서 이를 무한대 유용도로 확장하는 것.
• 지배 또는 비지배 측도에 의존하지 않는 새로운 가정 하에 존재성 결과를 제공함으로써, 강력한 포트폴리오 선택 이론에 새로운 이론적 통찰을 제공하는 것.

제안 방법

• 모델 불확실성은 고정된 필터링 확률 공간 위의 스토크라스틱 프로세스 가족 $\mathcal{S}$ 로 표현되며, 각각이 타당한 가격 동역학을 나타낸다.
• 유용도 최적화 문제는 $\mathcal{S}$ 내 모든 프로세스에 대해 최악의 기대 유용도를 최소화하는 것으로 공식화되며, 즉 $\Xi(\phi) = \inf_{S \in \mathcal{S}} \mathbb{E}^P\left[U(W^S_T(w_0, \phi))\right]$ 이다.
• 양의 유용도 성분의 균일 적분 가능성과 함께 de la Vallée-Poussin 정리를 사용하여 기능 $\Xi$ 의 상부 연속성을 확립한다.
• 유계 유용도 함수의 경우, 허용 전략 공간 내에서 순차적 컴acts 및 볼록성의 고려를 통해 최적화자의 존재성을 증명한다.
• 무한대 유용도의 경우, 균일 적분성과 최적 전략 존재성을 보장하기 위해 적분 조건을 도입한다 (예: $\mathbb{E}^P[(W^S_T)^-]^{\alpha\theta} < \infty$).
• 유계 Radon-Nikodym 미분을 통한 등가 마팅게일 측도 $Q(S)$ 의 구성은 $Q(S)$ 하에서의 마팅게일 성질을 보장하며, 마팅게일 기법의 적용을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유용도 함수가 상한선이 있을 경우, 이산 시간 시장에서 모델 불확실성 하에 최적 투자 전략이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 유용도 함수의 유계성 가정을 완화할 수 있으며, 만약 가능하다면 어떤 적분 조건과 무아웃라이어 조건 하에서 가능한가?
• RQ3 모든 모델이 동일한 확률 공간 위에 정의되는 본 연구의 프레임워크는 비지배 측도 접근 방식과 비교해 존재성과 강건성 측면에서 어떻게 다를까?
• RQ4 유한한 밀도 비율을 가진 등가 마팅게일 측도는 무한대 유용도 하에서 최적 전략 존재성을 어떻게 보장하는가?
• RQ5 새로운 프레임워크 하에서 최악의 기대 유용도 기능이 상부 연속성을 띠는지 입증할 수 있으며, 이는 최적화자 존재성에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 제안된 프레임워크 하에서, 양의 실수선 또는 전체 실수선에서 정의된 상한선이 있는 유용도 함수에 대해 최적 투자 전략이 존재한다.
• 무한대 유용도 함수의 경우, 강화된 무아웃라이어 조건 하에서 최적 전략 존재성이 입증되며, 특히 $\mathbb{E}^P[(W^S_T)^-]^{\alpha\theta} < \infty$ 를 만족하는 어떤 $\theta > 1$ 과 $\alpha\theta < 1$ 이 필요하다.
• 허용 전략 공간에서 기능 $\Xi(\phi) = \inf_{S \in \mathcal{S}} \mathbb{E}^P[U(W^S_T(w_0, \phi))]$ 는 상부 연속성을 띠며, 이는 Supremum 의 도달을 보장한다.
• 유계 밀도 $dQ(S)/dP$ 를 가진 등가 마팅게일 측도 $Q(S)$ 의 존재는 마팅게일 기법의 적용과 함께 자산 가치 과정의 균일 적분성을 보장한다.
• 증명 기법은 $U^+(W^S_T)$ 의 균일 적분성을 확보하기 위해 de la Vallée-Poussin 정리를 활용하며, 이는 수렴성과 상부 연속성에 필수적이다.
• 이전 연구에서 사용된 체계적 집합론적 가정(예: Martin의 공리)에 의존하지 않으며, 더 약한 조건 하에서 더 직접적이고 구성적인 존재성 증명을 제공한다.