[논문 리뷰] On Value at Risk for foreign exchange rates - the copula approach

Piotr Jaworski|ArXiv.org|2006. 08. 18.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 환율 포트폴리오의 Value at Risk (VaR)를 추정하기 위해 복합분포 기반 접근법을 제안한다. 특히, 수익률의 파워-법칙 尾尾 특성과 하부 꼬리에서의 동질적 복합분포를 활용하여, 포트폴리오 VaR의 경계를 도출한다. 마진 꼬리 행동과 복합분포의 동질성에 기반하여, 특정 조건 하에서 다각화된 VaR가 개별 VaR의 가중합으로 위계적으로 제한됨을 보이며, 폴란드의 EUR/CHF 환율 자료를 통해 실증적으로 검증된다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to determine the Value at Risk (VaR) of the portfolio consisting of long positions in foreign currencies on an emerging market. Basing on empirical data we restrict ourselves to the case when the tail parts of distributions of logarithmic returns of these assets follow the power laws and the lower tail of associated copula C follows the power law of degree 1. We will illustrate the practical usefulness of this approach by the analysis of the exchange rates of EUR and CHF at the Polish forex market.

연구 동기 및 목표

• 실행 시장의 외환 포지션에 대해 복합분포 기반 접근법을 활용하여 포트폴리오 Value at Risk (VaR)를 추정하기 위해.
• EUR 및 CHF와 같은 주요 통화의 로그 수익률의 공동 꼬리 의존성을 파워-법칙 행동을 갖는 복합분포로 모델링하기 위해.
• 복합분포의 하부 꼬리에서의 동질성과 마진 분포의 파워-법칙 감쇠에 기반하여 포트폴리오 VaR의 이론적 경계를 설정하기 위해.
• 폴란드 외환 시장의 일일 환율 자료(1995–2006)를 활용하여 모델을 실증적으로 검증하기 위해.
• 꼬리 의존성과 마진 꼬리 행동을 통합함으로써 극단적 시장 변동에 강건한 실용적 VaR 추정을 제공하기 위해.

제안 방법

• 수익률의 공동 분포는 복합분포 C로 모델링되며, 각각 EUR와 CHF의 수익률 분포를 나타내는 마진 F₁과 F₂를 포함한다.
• 복합분포의 하부 꼬리는 차수 1의 동질성으로 가정한다. 즉, 작은 q₁, q₂에 대해 C(q₁, q₂) ≈ L(q₁, q₂)이며, L은 양의 차수 1의 동질 함수이다.
• 로그 수익률의 마진 분포는 파워-법칙 꼬리를 갖도록 모델링한다: t ≈ −1에 가까운 곳에서 Fᵢ(t) ≈ aᵢ·(bᵢ − ln(1+t))⁻ᵞᵢ이다.
• 포트폴리오 수익률 R = w₁R₁ + w₂R₂는 복합분포 측도 μ_C(V_r)를 통해 분석되며, 여기서 V_r는 w₁F₁⁻¹(q₁) + w₂F₂⁻¹(q₂) ≤ r 를 만족하는 분위수의 집합이다.
• 이론적 VaR 경계는 동질적 복합분포 L 하에서 집합 V_r의 체적을 분석함으로써 도출되며, 비율 함수 ψ(q₁) = q₁/φ_r(q₁)의 볼록성과 단조성 성질을 활용한다.
• 증명은 복합분포 측도의 적분 표현과 다변량 분포를 마진과 복합분포로 분해하는 스클라의 정리를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공동 꼬리 의존성이 파워-법칙 행동을 보일 때, 다각화된 외환 포트폴리오의 Value at Risk (VaR)는 어떻게 추정할 수 있는가?
• RQ2 복합분포와 마진 분포에 어떤 조건이 충족되어야 포트폴리오 VaR가 개별 VaR의 가중합으로 위계적으로 제한되는가?
• RQ3 실제 외환 자료에서 복합분포의 하부 꼬리가 차수 1의 동질 함수로 얼마나 잘 근사될 수 있는가?
• RQ4 개별 통화 수익률의 파워-법칙 꼬리가 의존성 하에서 포트폴리오 리스크 추정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 실행 외환 자료를 활용하여 이론적 VaR 경계가 실증적으로 검증될 수 있는가?

주요 결과

• 신뢰수준 α < α* 이면, 복합분포의 하부 꼬리가 차수 1의 동질성을 갖는 한, VaR₁₋ₗ(₁,₁)α(W) ≥ w₁VaR₁₋ₐ(S₁) + w₂VaR₁₋ₐ(S₂) 가 성립하여 포트폴리오 VaR에 하한 경계를 제공한다.
• 추가로 마진 분포가 γᵢ > 1 인 파워-법칙 꼬리를 갖는다고 가정할 경우, 포트폴리오 VaR는 VaR₁₋ₐ(W) ≤ w₁VaR₁₋ₐ(S₁) + w₂VaR₁₋ₐ(S₂) 를 만족하여 상한 경계를 설정한다.
• 1995–2006년 폴란드에서의 EUR 및 CHF 환율 자료에 대한 실증 분석은 복합분포의 하부 꼬리가 최대 꼬리의 10%까지 차수 1의 동질 함수로 근사됨을 확인한다.
• 40% EUR / 60% CHF 포트폴리오의 실증 VaR는 복합분포와 마진 꼬리 가정에 기반한 이론적 상한 경계와 매우 유사하게 나타난다.
• 함수 ψ(q₁) = q₁/φ_r(q₁) 는 엄밀히 증가하고 볼록하므로, 상한 VaR 추정의 증명에 사용된 적분 경계의 타당성이 뒷받침된다.
• 이론적 경계는 꼬리의 상당 부분에서 유효하며, 이는 시행 가능한 리스크 관리 도구로서의 실용성을 뒷받침한다.