[논문 리뷰] On viscosity solutions of path-dependent Hamilton--Jacobi--Bellman--Isaacs equations for fractional-order systems

M. I. Gomoyunov|arXiv (Cornell University)|2021. 09. 06.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 37인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 순서 α ∈ (0,1)인 Caputo 분수도수 도함수에 의해 구동되는 경로에 의존하는 해밀턴-자코비-베르누lli-아이즈(이하 HJBI) 방정식에 대한 점성 해법 프레임워크를 수립한다. α-순서의 ci-연속 테스트 함수형과 경로 공간의 컴팩트한 불변 부분집합을 기반으로 하는 새로운 점성 해법의 개념을 도입함으로써, 두 명의 참가자 간의 제로섬 미분게임의 가치 함수형이 유일한 점성 해법임을 증명한다. 이는 국소적이지 않은 동역학을 갖는 분수계수 시스템으로까지 최소최대 해법 이론을 확장한다.

ABSTRACT

This paper deals with a two-person zero-sum differential game for a dynamical system described by a Caputo fractional differential equation of order $α\in (0, 1)$ and a Bolza cost functional. The differential game is associated to the Cauchy problem for the path-dependent Hamilton--Jacobi--Bellman--Isaacs equation with so-called fractional coinvariant derivatives of the order $α$ and the corresponding right-end boundary condition. A notion of a viscosity solution of the Cauchy problem is introduced, and the value functional of the differential game is characterized as a unique viscosity solution of this problem.

연구 동기 및 목표

• 클래식한 미분 가능성 가정이 실패하는 경우, 순서 α ∈ (0,1)인 Caputo 분수도수 도함수를 포함하는 경로에 의존하는 HJBI 방정식에 대한 일반화된 해법 개념을 개발한다.
• 비국소적이고 경로에 의존하는 동역학을 갖는 분수계수 시스템에 최소최대 해법 프레임워크를 확장하기 위해, 비국소적이고 경로에 의존하는 동역학에 적합한 점성 해법 접근법을 도입한다.
• 두 명의 참가자 간의 제로섬 미분게임의 가치 함수형을 관련 HJBI 방정식의 유일한 점성 해법으로 특성화한다.
• 분수공변도수 도함수의 구조를 반영하는 테스트 함수형의 새로운 구성 방법을 통해 점성 해법의 유일성을 확립한다.

제안 방법

• 경로 공간을 덮는 컴팩트하고 강한 불변 부분집합의 수열과 함께, α-순서의 ci-연속 테스트 함수형을 사용하는 새로운 점성 해법 정의를 도입한다.
• 점성 해법이 경로 변수에 대해 국소 리프시츠 연속성을 갖도록 조건을 부과함으로써, ci-미분의 유계성을 확보한다.
• 이전 연구 [11, 정리 2]에서 얻어진 가치 함수형의 최소최대 해법 특성화를 적용하고, [13, 보조정리 1]을 활용하여 리프시츠 조건을 검증한다.
• 분수공변도수 도함수의 구조를 반영하는 특수한 테스트 함수형을 구성함으로써, 비교 원리를 통한 유일성 증명이 가능하도록 한다.
• Hölder의 부등식과 베타 함수를 포함하는 적분 추정을 사용하여, 테스트 함수형의 ci-미분의 크기를 제한함으로써 필요한 정규성을 확보한다.
• [21, 정리 2]에서 유도된 비교 원리 기법을 적응시켰지만, 분수도수의 비국소성에 대응하기 위해 테스트 함수형의 구성 방식을 수정하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서 α ∈ (0,1)인 Caputo 분수도수 도함수를 포함하는 경로에 의존하는 HJBI 방정식에 대해 점성 해법 개념은 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 분수 동역학을 갖는 두 명의 참가자 간 제로섬 미분게임의 가치 함수형은 관련 HJBI 방정식의 점성 해법인가?
• RQ3 비국소적이고 경로에 의존하는 분수 동역학이 존재하는 상황에서 점성 해법의 유일성은 어떻게 확보할 수 있는가?
• RQ4 가치 함수형의 국소 리프시츠 연속성은 테스트 함수형의 ci-미분의 유계성을 확보하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유일성 증명에서 분수공변도수 도함수의 구조를 반영하는 테스트 함수형은 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 미분게임의 가치 함수형은 분수공변도수 도함수의 순서 α를 갖는 경로에 의존하는 HJBI 방정식의 점성 해법이다.
• 가치 함수형은 경로 변수에 대해 필요한 국소 리프시츠 연속성을 만족하며, 이는 테스트 함수형의 ci-미분을 유계로 유지하는 데 필수적이다.
• 분수 HJBI 방정식의 구조에 맞게 조정된 새로운 α-순서의 ci-연속 테스트 함수형의 구성 방법이 개발되었으며, 이는 유일성 증명을 가능하게 한다.
• 비국소성의 특성을 반영하는 적절한 테스트 함수형의 구성이 핵심이 되는 비교 원리를 통해 점성 해법의 유일성이 확립된다.
• 유계성을 확보하기 위해 베타 함수를 포함하는 적분 추정과 Hölder의 부등식을 사용하여 ci-미분의 성장률을 제어함으로써 비교 논증에 필요한 조건을 확보한다.
• 비국소적 환경에서의 동적 프로그래밍 적용 범위를 넓히기 위해, 최소최대 해법 프레임워크를 분수계수 시스템으로 확장함으로써 결과를 도출하였다.