[논문 리뷰] On warped product manifolds satisfying some pseudosymmetric type conditions

Absos Ali Shaikh, Haradhan Kundu|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 10.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 21인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 프로젝션 곡률 텐서를 포함한 가짜 대칭 유형 곡률 조건을 만족하는 왜곡된 곱 반리만다이언 다양체를 조사한다. $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ 를 만족하는 다양체에 대한 특성 정리가 유도되며, $ L_2 \neq 0 $ 이면 기저는 평탄하거나 섬유는 아인슈타인임을 보여주며, 특수한 경우로 반대칭성, 가짜 대칭성, 프로젝션 곡률 기반 조건을 복원한다.

ABSTRACT

The object of the present paper is to study the characterization of warped product manifolds satisfying some pseudosymmetric type conditions, especially, due to projective curvature tensor. For this purpose we consider a warped product manifold satisfying the pseudosymmetric type condition $R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R)$ and evaluate its characterization theorem. As special cases of $L_1$ and $L_2$ we find out the necessary and sufficient condition for a warped product manifold to satisfy various pseudosymmetric type, such as pseudosymmetry, Ricci generalized pseudosymmetry, semisymmetry due to projective curvature tensor ($P\cdot R = 0$), pseudosymmetry due to projective curvature tensor ($P\cdot R = L Q(g,R)$) etc. Finally we present some suitable examples of warped product manifolds satisfying such pseudosymmetric type conditions.

연구 동기 및 목표

• 가짜 대칭 유형 조건 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ 를 만족하는 왜곡된 곱 반리만다이언 다양체를 특성화하는 것.
• 이러한 왜곡된 곱 다양체가 반대칭성, 가짜 대칭성, 프로젝션 곡률 기반 조건을 포함한 특정 곡률 제약 조건을 만족하기 위한 필요 및 충분 조건을 규명하는 것.
• 특히 $ L_2 \neq 0 $ 일 때 기저 및 섬유 다양체에 미치는 기하적 영향을 탐구하며, 기저가 평탄하거나 섬유가 아인슈타인임을 보여주는 것.
• 다양한 가짜 대칭 유형 조건을 만족하는 왜곡된 곱 다양체의 명시적 예를 구성하여 이론적 결과를 검증하는 것.
• 가짜 대칭 다양체가 반대칭 다양체의 전적으로 포용되는 초평면이 될 수 있음을 왜곡된 곱 구조를 통해 확립하는 것.

제안 방법

• 리만 곡률 텐서 $ R $, 리치 텐서 $ S $, 프로젝션 곡률 텐서 $ P $ 를 기저 $ \overline{M} $ 와 섬유 $ \widetilde{M} $ 의 성분으로 분해하기 위해 리만-레비치비타 접선과 곡률 텐서를 사용하여 왜곡된 곱 다양체 $ M = \overline{M} \times_f \widetilde{M} $ 에 대해 곡률 조건 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ 를 유도한다.
• 왜곡된 곱 구조를 적용하여 리만 곡률 텐서 $ R $, 리치 텐서 $ S $, 프로젝션 곡률 텐서 $ P $ 를 기저 $ \overline{M} $ 와 섬유 $ \widetilde{M} $ 의 성분으로 분해한다.
• 조건 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ 를 사용하여 왜곡 함수 $ f $, 스칼라 곡률 $ \kappa $, 기저 및 섬유의 곡률 텐서를 포함하는 방정식 시스템을 유도한다.
• 유도된 방정식을 분석하여 $ L_2 \neq 0 $ 이면 $ \overline{R} = 0 $ (기저가 평탄함) 또는 $ \widetilde{S} = \frac{\widetilde{\kappa}}{n-p} \widetilde{g} $ (섬유가 아인슈타인)임을 보여준다.
• 일반 조건을 특수한 경우에 적용한다: $ L_1 = 0 $, $ L_2 = 0 $, $ L_1 = L_2 = 1 $, 및 $ L_2 = 0 $ 이면서 $ L_1 $ 이 스칼라인 경우로, 반대칭성, 가짜 대칭성, 프로젝션 곡률 기반 조건을 복원한다.
• 특정 왜곡 함수와 계량을 사용하여 명시적 예를 구성하여 곡률 조건이 만족됨을 검증한다. 예를 들어 $ R\cdot R = a Q(g,R) $ 를 만족하는 경우와 $ R\cdot R = Q(g,R) + \text{비상수 항} \cdot Q(S,R) $ 를 만족하는 경우를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜곡된 곱 다양체 $ M = \overline{M} \times_f \widetilde{M} $ 가 가짜 대칭 유형 조건 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ 를 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 곡률 조건에서 $ L_2 \neq 0 $ 일 때 기저 $ \overline{M} $ 와 섬유 $ \widetilde{M} $ 에 어떤 기하적 제약 조건이 가해지는가?
• RQ3 $ L_1 = 1, L_2 = 0 $ 또는 $ L_1 = 0, L_2 = 1 $ 과 같은 $ L_1 $ 과 $ L_2 $ 의 특수한 경우는 반대칭성 또는 리치 일반화 가짜 대칭성과 같은 알려진 곡률 조건과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 가짜 대칭 다양체가 반대칭 왜곡된 곱 다양체의 전적으로 포용되는 초평면이 될 수 있는가?
• RQ5 어떤 명시적 예가 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ 를 만족하며, 유도된 조건을 어떻게 검증하는가?

주요 결과

• 만약 왜곡된 곱 다양체 $ M = \overline{M} \times_f \widetilde{M} $ 가 $ L_2 $ 가 어디서도 0이 아니며 $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) + L_2 Q(S,R) $ 를 만족한다면, 기저 $ \overline{M} $ 는 평탄하거나 섬유 $ \widetilde{M} $ 는 아인슈타인이다.
• 특수한 경우 $ R\cdot R = 0 $ 에서는 기저 $ \overline{M} $ 는 반대칭이고 섬유 $ \widetilde{M} $ 는 가짜 대칭이다.
• $ R\cdot R = L_1 Q(g,R) $ 인 경우, 기저와 섬유 모두 가짜 대칭이다.
• $ P\cdot R = 0 $ 인 경우, 프로젝션 곡률 텐서 덕분에 다양체는 반대칭이며, 이는 기저가 평탄하거나 섬유가 아인슈타인임과 동치이다.
• $ P\cdot R = L Q(g,R) $ 인 경우, 조건은 $ Q(g,R) $ 의 스칼라 배수로 줄어들며, 다시 말해 기저가 평탄하거나 섬유가 아인슈타인이다.
• 명시적 예를 구성하여 $ R\cdot R = a Q(g,R) $ 를 만족함을 보였으며, 이 경우 $ M $ 은 일정 유형의 왜곡된 곱 가짜 대칭 다양체이다. $ a = 0 $ 이면 반대칭이 되며, 이 경우 $ W\cdot R = 0 $ 이므로 농구 곡률 텐서에 의해 반대칭 유형이 된다.