[논문 리뷰] On Winning Conditions of High Borel Complexity in Pushdown Games

Olivier Finkel|ArXiv.org|2008. 03. 12.

semigroups and automata theory참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 프시드운 게임에서 높은 보렐 복잡도를 가진 승리 조건을 조사하며, 플레이어의 승리 위치 집합이 비결정적, 비명시적, 본질적으로 명시적인, 심지어 비문맥 자유 ω-언어일 수 있음을 보여준다. 이는 승리 집합이 결정적 문맥 자유 언어에 국한되지 않음을 증명함으로써, 열린 질문들을 해결하며, ω-언어 계층 내에서의 정확한 표현 능력을 규명한다.

ABSTRACT

Some decidable winning conditions of arbitrarily high finite Borel complexity for games on finite graphs or on pushdown graphs have been recently presented by O. Serre in [ Games with Winning Conditions of High Borel Complexity, in the Proceedings of the International Conference ICALP 2004, LNCS, Volume 3142, p. 1150-1162 ]. We answer in this paper several questions which were raised by Serre in the above cited paper. We first show that, for every positive integer n, the class C_n(A), which arises in the definition of decidable winning conditions, is included in the class of non-ambiguous context free omega languages, and that it is neither closed under union nor under intersection. We prove also that there exists pushdown games, equipped with such decidable winning conditions, where the winning sets are not deterministic context free languages, giving examples of winning sets which are non-deterministic non-ambiguous context free languages, inherently ambiguous context free languages, or even non context free languages.

연구 동기 및 목표

• 세르(2005)가 제기한 프시드운 게임에서의 승리 조건의 표현 능력에 관한 열린 질문을 해결하기 위해.
• 클래스 $\mathbb{C}_n(A)$ 및 $\mathbb{C}_n^\lambda(A)$를 분석하여, 이들이 비명시적 문맥 자유 ω-언어와 그 여집합으로 이루어져 있음을 보여주기 위해.
• 프시드운 게임에서 승리 집합이 결정적 문맥 자유 언어의 범위를 초월할 수 있는지 판단하기 위해.
• 클래스 $\mathbb{C}_n(A)$의 합집합 및 교집합에 대한 닫힘 성질을 조사하기 위해.
• 에브의 승리 집합이 결정적 문맥 자유 언어가 아닌 경우를 보여주는 명시적 예를 구성하기 위해.

제안 방법

• 스택의 무한성과 수용 조건을 갖춘 결정적 프시드운 오토마타를 고려하여, 클래스 $\mathbb{C}_n(A)$를 정의한다. 이는 $L(\mathcal{A}_1 \rhd \cdots \rhd \mathcal{A}_n \rhd \mathcal{A}_{n+1})$ 의 언어 집합으로서 정의된다.
• 스택 한계 언어의 구조를 이용하여, $\mathbb{C}_n(A)$에 속한 언어가 비명시적 문맥 자유 ω-언어임을 증명한다.
• 보완 분석을 위해 더 큰 클래스 $\mathbb{C}_n^\lambda(A)$ 를 도입하며, 이들이 또한 비명시적 문맥 자유 언어임을 보여준다.
• 에브의 승리 집합이 본질적으로 명시적이거나 비문맥 자유일 수 있음을 보여주기 위해, 승리 조건 $\Omega_{\mathcal{A}_1 \rhd \mathcal{A}_2}$ 를 갖는 명시적 프시드운 게임을 구성한다.
• 문맥 자유 언어의 펌프링 렘마를 사용하여 $\{a^n b^n c^n \mid n \geq 1\}$ 이 문맥 자유 언어가 아님을 증명하고, 이를 통해 승리 집합의 비문맥 자유성을 입증한다.
• 스택의 무한성과 한계 수용 조건을 활용하여, 에브의 승리 위치가 여러 무한한 플레이에 의존하는 프시드운 게임의 구성 상태를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 높은 보렐 복잡도를 가진 프시드운 게임에서 승리 위치 집합은 결정적 문맥 자유 언어에 국한되어 있는가?
• RQ2 클래스 $\mathbb{C}_n(A)$ 와 그 보완은 비명시적 문맥 자유 ω-언어로 특징지어질 수 있는가?
• RQ3 클래스 $\mathbb{C}_n(A)$ 는 합집합 및 교집합에 대해 닫혀 있는가?
• RQ4 프시드운 게임에서 승리 집합이 본질적으로 명시적이거나 심지어 비문맥 자유일 수 있는가?
• RQ5 언어 클래스 $\Omega_{\mathcal{A}_1 \rhd \cdots \rhd \mathcal{A}_{n+1}}$ 의 표현 능력은 ω-언어 계층에서 어떻게 평가될 수 있는가?

주요 결과

• 클래스 $\mathbb{C}_n(A)$ 는 비명시적 문맥 자유 ω-언어의 범주에 포함된다.
• 클래스 $\mathbb{C}_n(A)$ 의 언어의 보완 역시 비명시적 문맥 자유 ω-언어이며, 더 큰 클래스 $\mathbb{C}_n^\lambda(A)$ 를 통해 이를 증명하였다.
• 클래스 $\mathbb{C}_n(A)$ 는 합집합이나 교집합에 대해 닫혀 있지 않다.
• 에브의 승리 집합이 본질적으로 명시적인 문맥 자유 언어인 프시드운 게임이 존재하며, 구체적으로 $\{a^n b^m c^p \mid n,m,p \geq 1 \text{ 및 } (n=m \text{ 또는 } m=p)\}$ 이다.
• 에브의 승리 집합이 비문맥 자유 언어인 프시드운 게임이 존재하며, 예를 들어 $\{a^n b^n c^n \mid n \geq 1\}$ 이다. 이는 닫힘 성질과 펌프링 렘마를 통해 증명되었다.
• 이 논문은 프시드운 게임에서 승리 집합이 비결정적, 비명시적, 본질적으로 명시적, 또는 비문맥 자유일 수 있음을 확인하며, 따라서 결정적 문맥 자유 언어의 범위를 초월함을 입증한다.