[논문 리뷰] On Witt vector cohomology for singular varieties

Pierre Berthelot, Spencer Bloch외 1명|ArXiv.org|2005. 10. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양의 특성의 완전체 위의 분리된 유한형 스킴에 대해 컴팩트 지지를 가진 윌트 벡터 코hom로지의 체계를 구축하며, 컴팩트 지지를 가진 라이드 코호몰로지의 기울기 <1 부분과 이 윌트 코호몰로지 사이에 자연스러운 동형사상을 확립한다. 주요 결과는 라이드 코호몰로지의 기울기 <1 부분이 유리수 윌트 코호몰로지와 일치함을 밝혀내며, 유한체 위의 다양체에서 유리점의 수에 대한 새로운 합동 공식을 가능하게 하고, 세르의 테타 부분다발에 관한 추측을 증명한다.

ABSTRACT

Over a perfect field $k$ of characteristic $p &gt; 0$, we construct a ``Witt vector cohomology with compact supports'' for separated $k$-schemes of finite type, extending (after tensorisation with $\mathbb{Q}$) the classical theory for proper $k$-schemes. We define a canonical morphism from rigid cohomology with compact supports to Witt vector cohomology with compact supports, and we prove that it provides an identification between the latter and the slope $&lt; 1$ part of the former. Over a finite field, this allows one to compute congruences for the number of rational points in special examples. In particular, the congruence modulo the cardinality of the finite field of the number of rational points of a theta divisor on an abelian variety does not depend on the choice of the theta divisor. This answers positively a question by J.-P. Serre.

연구 동기 및 목표

• 특성 0 이외의 완전체 위의 특이 다양체에 대해 윌트 벡터 코호몰로지의 컴팩트 지지를 이용한 크리스탈린 코호몰로지의 일반화.
• 컴팩트 지지를 가진 라이드 코호몰로지에서 컴팩트 지지를 가진 윌트 벡터 코호몰로지로의 자연스러운 준동형사상 정의.
• 이 준동형사상이 라이드 코호몰로지의 기울기 <1 부분과 윌트 벡터 코호몰로지 사이에 동형사상을 유도함을 증명.
• 이 동형사상을 이용해 유한체 위의 다양체에서 유리점의 수에 대한 합동식 유도.
• 체의 크기 모odulo에 대해 테타 부분다발의 점 수가 독립적이라는 세르의 질문 해결.

제안 방법

• 기본층의 윌트 벡터에서 몫층의 윌트 벡터로 가는 사상의 핵을 이용해 컴팩트 지지를 가진 윌트 벡터 코호몰로지 구축.
• 일관된 코herent 코호몰로지에 대한 델리뉴의 내림기술을 사용해, 이 구축에서 컴팩트화의 선택에 대한 독립성 증명.
• 열린 포함 $ U o X $ 와 여부 $ V( ilde{I}) $ 에 대해 $ H^*(X, W ilde{I}_K) $ 를 통해 코호몰로지 공간 정의하고, 함자성 증명.
• 스무스 형식 $ W $-스킴이 스킴를 포함하는 데어 라무 복합체를 사용해 컴팩트 지지를 가진 라이드 코호몰로지에서 컴팩트 지지를 가진 윌트 벡터 코호몰로지로의 자연스러운 준동형사상 수립.
• 윌트 코호몰로지에 대해 코호몰로지의 내림을 적용해, 기울기 <1 범위에서의 주요 동형사상 증명.
• 프로베니우스 작용과 $ K $-텐서 곱을 사용해 코호몰로지와 라이드 코호몰로지의 기울기 분해 간의 관계 유도.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0 이외의 완전체 위의 분리된 유한형 스킴에 대해 컴팩트 지지를 가진 윌트 벡터 코호몰로지를 정의할 수 있는가?
• RQ2 컴팩트 지지를 가진 라이드 코호몰로지의 기울기 <1 부분과 컴팩트 지지를 가진 윌트 벡터 코호몰로지 사이에 자연스러운 동형사상이 존재하는가?
• RQ3 이 동형사상은 유한체 위에서의 유리점 수 계산에 새로운 합동식을 가능하게 하는가?
• RQ4 이 동형사상은 세르의 추측, 즉 체의 크기 모odulo에 대해 테타 부분다람의 점 수가 독립적이라는 것을 해결할 수 있는가?
• RQ5 유한군의 작용이 코herent 코호몰로지에 대해 어떻게 윌트 코호몰로지로 올라갈 수 있는가?

주요 결과

• 모든 분리된 $ k $-스킴에 대해 컴팩트 지지를 가진 라이드 코호몰로지의 기울기 <1 부분과 컴팩트 지지를 가진 윌트 벡터 코호몰로지 사이에 자연스러운 동형사상이 확립된다.
• 컴팩트 지지를 가진 윌트 벡터 코호몰로지의 구축은 컴팩트화의 선택에 영향을 받지 않으며, 델리뉴의 결과를 윌트 벡터 설정으로 일반화한다.
• 이 동형사상은 라이드 코호몰로지에서 기울기 <1에 해당하는 제타 함수 인자 부분이 유리수 윌트 코호몰로지와 동형임을 의미하며, 새로운 합동 공식을 가능하게 한다.
• 논문은 아벨 다양체 위의 테타 부분다람에서의 유리점 수가 테타 부분다람의 선택과 무관하다는 것을 증명하며, 세르의 추측을 확인한다.
• 유한군의 작용이 $ H^i({ m ilde{O}}_X) $ 에 대해 자명할 조건 하에서, 스킴의 몫에 대해 $ q $ 모듈로 합동식을 도출하며, $ p $ 가 $ |G| $ 를 나누는 경우 반례가 존재함을 보인다.