[논문 리뷰] On wrapping the Kalman filter and estimating with the SO(2) group

Ivan Marković, Josip Ćesić외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 18.

Speech and Audio Processing참고 문헌 7인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 방향성 2D 추적을 위해 SO(2) 리 군 위의 확장된 컨볼루션 필터를 제안하며, 각도 상태를 SO(2)에 모델링하면서 타원형 속도 및 가속도와 같은 유클리드 변수와 통합한다. 수학적으로 타당한 SO(2) 리 군 EKF가 표준 EKF에서 각도를 수기적으로 감싸는 방법과 동일한 결과를 도출함을 보여주며, SO(2) 및 SO(2)×ℝ² 시스템에 대한 이 접근법의 타당성을 검증한다. 실세계의 스피커 추적 실험을 통해 운동 캡처 기반 참값을 사용하여 정확도를 확인한다.

ABSTRACT

This paper analyzes directional tracking in 2D with the extended Kalman filter on Lie groups (LG-EKF). The study stems from the problem of tracking objects moving in 2D Euclidean space, with the observer measuring direction only, thus rendering the measurement space and object position on the circle---a non-Euclidean geometry. The problem is further inconvenienced if we need to include higher-order dynamics in the state space, like angular velocity which is a Euclidean variables. The LG-EKF offers a solution to this issue by modeling the state space as a Lie group or combination thereof, e.g., SO(2) or its combinations with Rn. In the present paper, we first derive the LG-EKF on SO(2) and subsequently show that this derivation, based on the mathematically grounded framework of filtering on Lie groups, yields the same result as heuristically wrapping the angular variable within the EKF framework. This result applies only to the SO(2) and SO(2)xRn LG-EKFs and is not intended to be extended to other Lie groups or combinations thereof. In the end, we showcase the SO(2)xR2 LG-EKF, as an example of a constant angular acceleration model, on the problem of speaker tracking with a microphone array for which real-world experiments are conducted and accuracy is evaluated with ground truth data obtained by a motion capture system.

연구 동기 및 목표

• 방향성 측정값이 비유클리드 원 위에 존재하는 2D에서 이동 물체를 추적하는 문제에 대응하기 위해, 각도 상태를 SO(2)에 모델링하면서 타원형 속도 및 가속도와 같은 고차원 역학을 통합한다.
• 비유클리드 기하학을 자연스럽게 다루는 리 군 기반 수학적 틀을 개발하여 수기적 수정 없이 각도 변수의 비유클리드 기하학을 처리한다.
• SO(2) 위의 리 군 EKF가 수기적으로 감싸진 EKF와 동일한 결과를 도출함을 보여주며, 이 경우에 대해 후자의 접근법에 대한 이론적 검증을 제공한다.
• 실세계의 마이크 배열과 운동 캡처 기반 참값을 사용하여 SO(2)×ℝ² 리 군 EKF를 스피커 추적 문제에 적용한다.

제안 방법

• 상태공간을 SO(2)×ℝ²로 모델링하여 SO(2)는 방향각을, ℝ²는 각속도 및 각가속도를 나타내며, 비유클리드 및 유클리드 변수를 혼합한 하이브리드 상태공간을 가능하게 한다.
• 행렬 리 군 위에서의 필터링 체계를 사용하여 SO(2) 위의 확장된 컨볼루션 필터를 유도하며, 상태 및 오차 전파에 대해 지수함수 및 로그함수를 사용한다.
• 접합 표현과 시스템 및 측정 함수의 탄성 공간에서의 야코비안을 사용하여 리 군 EKF 프레임워크를 적용하여 상태 예측 및 보정 단계를 계산한다.
• 상태 전이를 전파하기 위해 행렬 지수를 사용하며, 전이 행렬이 EKF 프레임워크 내에서 고전적인 일정 가속 모델과 일치한다.
• 측정값의 이상치를 거부하기 위해 찌그러짐 검증을 위해 찌그러짐 검정을 사용한다.
• 방향 도착 측정값을 추출하기 위해 빔포밍 알고리즘을 사용하고, 성능 평가를 위해 운동 캡처 시스템을 활용하여 참값을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수학적으로 타당한 SO(2) 리 군 EKF가 각도 상태 추정에서 수기적으로 감싸진 EKF와 동일한 결과를 도출하는가?
• RQ2 SO(2)×ℝ² 리 군 EKF는 비유클리드 및 유클리드 상태 변수를 혼합한 방향성 추적에서 고차원 역학(예: 일정한 각가속도)을 효과적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ3 노이즈가 많고 이상치가 많은 측정값이 있는 실세계의 방향성 추적 시나리오에서 리 군 EKF의 성능은 표준 EKF 접근법과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 리 군 EKF와 감싸진 EKF 간의 등가성은 SO(2)를 초월해 일반화 가능한가, 아니면 SO(2)의 아벨 성질에 국한되는가?

주요 결과

• 리 군 프레임워크를 사용한 SO(2) 위의 확장된 컨볼루션 필터 유도 과정이 수기적으로 감싸진 EKF와 동일한 결과를 도출함을 보여주며, SO(2) 시스템에 대해 후자의 접근법을 검증한다.
• SO(2)×ℝ² 리 군 EKF는 일정한 각가속도 운동 모델을 성공적으로 모델링하며, 상태 전이 행렬이 고전적인 EKF 형태와 일치한다.
• 실세계 실내 환경에서 이동하는 스피커의 정확한 추적 성능을 달성하였으며, 그림에 표시된 방향각 및 각속도에 대한 상태 RMSE 값이 기록되었다.
• 찌그러짐 검정을 사용한 검증 게이팅이 빔포밍 출력의 이상 측정값 영향을 효과적으로 완화한다.
• 실세계 실험을 통해 리 군 EKF가 각도 변수 기하학을 내재적으로 처리함을 확인하였으며, 각도를 유클리드 변수로 간주하는 난이한 EKF 접근법보다 우수한 성능을 보였다.