[논문 리뷰] On zero divisors and prime elements of po-semirings

Tongsuo Wu, Dancheng Lu외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 02.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유계 반체에서 영약수와 소원소의 성질을 조사하며, 온건한 조건 하에서 비영인 영약수의 집합이 $A \setminus \{0,1\}$과 일치하고, 각 소원소가 최대임을 증명한다. 만약 $Z(A) = A \setminus \{0,1\}$이라면, 원소나 주된 소거 이상수에 대한 ACC가 성립할 경우 $A$는 유한한 최대 원소를 가진다. 또한 $|Z(A)| = 1$ 또는 $|Z(A)| = 2$이고 $Z(A)^2 \neq 0$인 유계 반체를 정수 반체의 관점에서 완전히 특성화한다.

ABSTRACT

A semiring is an algebraic structure similar to a ring, but without the requirement that each element must have an additive inverse. A po-semiring is a semiring equipped with a compatible bounded partial order. In this paper, properties of zero divisors and prime elements of a po-semiring are studied. In particular, it is proved that under some mild assumption the set $Z(A)$ of nonzero zero divisors of $A$ is $A\setminus \{0,1\}$, each prime element of $A$ is a maximal element, and the zero divisor graph $\G(A)$ of $A$ is a finite graph if and only if $A$ is finite. For a po-semiring $A$ with $Z(A)=A\setminus \{0,1\}$, it is proved that $A$ has finitely many maximal elements if ACC holds either for elements of $A$ or for principal annihilating ideals of $A$. As applications of prime elements, it is shown that the structure of a po-semiring $A$ is completely determined by the structure of integral po-semirings if either $|Z(A)|=1$ or $|Z(A)|=2$ and $Z(A)^2 ot=0$. Applications to the ideal structure of commutative rings are considered.

연구 동기 및 목표

• 유계 반체에서 영약수와 소원소의 구조를 분석한다.
• 비영인 영약수의 집합이 $A \setminus \{0,1\}$과 일치하는 조건을 규명한다.
• 온건한 가정 하에서 유계 반체의 각 소원소가 최대임을 증명한다.
• 자기 자신이 $|Z(A)| = 1$ 또는 $|Z(A)| = 2$이고 $Z(A)^2 \neq 0$인 유계 반체를 정수 반체의 관점에서 특성화한다.
• 유계 반체 이론을 통해 교환환의 이상수 구조를 복원하거나 분석할 수 있는지 탐색한다.

제안 방법

• 유계 반체의 부분순서 집합 구조를 활용하며, 국소 반모듈라성과 체인 복합체의 셸라빌리티를 고려한다.
• 부분순서가 $a \leq b \iff a + b = b$로 정의된, $a + a = a$를 만족하는 다이오이드로서의 유계 반체 개념을 적용한다.
• 소원소를 조건: $xy \leq p$이면 $x \leq p$ 또는 $y \leq p$를 만족하며, $p \neq 1$인 조건을 통해 도입하고 분석한다.
• 하향 주어진 이상수 $<u> = \{x \in A \mid x \leq u\}$와 소거 이상수 $\text{ann}_A(u) = \{x \in A \mid xu = 0\}$의 개념을 활용한다.
• 조건 $(C_3)$: 비극성원소 $u$에 대해, $u$의 하위에 존재하는 영이 아닌 등급원소 $w$가 존재하며, 이는 서로 수직인 등급원소 보완을 가진다.
• 기본 정수 반체 $A_1$과 추가 원소 $c, u$를 사용하여 $|Z(A)| = 2$이고 $Z(A)^2 = 0$인 유계 반체의 구체적 모델을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 반체에서 비영인 영약수의 집합이 $A \setminus \{0,1\}$과 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 유계 반체에서 모든 소원소가 최대가 되는 조건은 언제인가?
• RQ3 $|Z(A)| = 1$ 또는 $|Z(A)| = 2$이고 $Z(A)^2 \neq 0$일 때 유계 반체의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ4 원소나 주된 소거 이상수에 대한 ACC가 $Z(A) = A \setminus \{0,1\}$인 유계 반체에서 최대 원소의 유한성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 유계 반체 이론의 프레임워크를 통해 교환환의 이상수 구조를 복원하거나 분석할 수 있는가?

주요 결과

• 온건한 가정 하에서 비영인 영약수의 집합 $Z(A)$는 $A \setminus \{0,1\}$과 일치하며, 이는 0과 1 이외의 모든 원소가 영약수임을 의미한다.
• 유계 반체에서 각 소원소는 최대이므로, 소원소와 1 사이에 엄밀히 끼어나는 진부분원소는 존재하지 않는다.
• 만약 $Z(A) = A \setminus \{0,1\}$이라면, 원소에 대한 ACC 또는 주된 소거 이상수에 대한 ACC가 성립할 경우 $A$는 최대 원소를 유한 개 가진다.
• 자기 자신이 $|Z(A)| = 1$ 또는 $|Z(A)| = 2$이고 $Z(A)^2 \neq 0$인 유계 반체는 정수 반체의 구조에 의해 완전히 결정된다.
• 논문은 기초 정수 반체 $A_1$과 두 개의 새로운 원소 $c, u$를 사용하여 $|Z(A)| = 2$이고 $Z(A)^2 = 0$인 유계 반체의 구체적 모델을 구성한다. 이들에 대해 특정한 덧셈과 곱셈 법칙을 적용한다.
• DCC와 조건 $(C_3)$이 성립할 경우, 유계 반체 $A$는 $A_1$ 또는 $\{0,1\}^{(n)} \times A_1$과 동형이며, 이때 $A_1$은 모든 최소 원소 $c$에 대해 $c^2 = 0$을 만족하고 $A_1$에서 DCC가 성립한다.